Si 2 es una raíz primitiva de $p$ ¿es también una raíz primitiva de $p^2$ ?

Question

Si $2$ es una raíz primitiva de un primo impar $p$ ¿es también una raíz primitiva de $p^2$ ?

Editar: Para los primeros 10.000 primos $p$ , Wolfram|Alpha confirmado que $2$ es una raíz primitiva de $p$ si y sólo si $2$ es también una raíz primitiva de $p^2$ .

Answer 1

Note : Esta respuesta no es completa. Puede que ni siquiera sea correcta. Pero ha generado demasiados comentarios como para eliminarla, y al menos puede ser interesante como vía de prueba que no funciona (a menos que alguien pueda arreglarla). Así que lo dejo colgado.

Claramente, ya que $2^k\equiv 1 \bmod p^2$ implica $2^k\equiv 1\bmod p$ El período de $2$ modulo $p^2$ debe ser un múltiplo del periodo módulo $p$ es decir, $p-1$ . Por otra parte, el período debe dividir $\phi(p^2)=p(p-1)$ por lo que debe ser igual a $p(p-1)$ a menos que sea igual a $p-1$ , en cuyo caso $p^2\mid 2^{p-1}-1$ .

Pero si lo es, entonces $p^2\mid (2^{(p-1)/2}-1)(2^{(p-1)/2}+1)$ . $p$ no divide el primer factor por la suposición, por lo que $2^{(p-1)/2}\equiv-1\bmod p^2$ y la conclusión sigue sin estar clara.

Answer 2

Una pista:

$$\text{if $ \,2\, $ is a primitive root modulo $ \,p\, $ and }\;\;2^{p-1}\neq 1\pmod{p^2}$$

$$\,\,\text{then $ \,2\, $ is a primitive root modulo}\,\,p^2$$

En caso de que $\,2^{p-1}=1\pmod{p^2}\,$ no hay problema: $\,2+p\,$ es una raíz primitiva módulo $\,p^2\,$

¡Spoiler!

Lea la primera parte de este papel

Answer 3

Se espera (creo) que haya infinitos contraejemplos, pero eso no se sabe. En general, no hay razón para esperar que una raíz primitiva dada módulo $p$ debe ser siempre una raíz primitiva módulo $p^2$ .

(Originalmente afirmé que en realidad conocemos dos contraejemplos, 1093 y 3511 pero eso es incorrecto: 2 es un cubo módulo 1093 y un cuadrado módulo 3511, por lo que no es una raíz primitiva para ninguno de los dos primos).