¿Por qué nos detenemos en la etapa de exponenciación en la aritmética de los números naturales?

Question

En números naturales el operador sucesor unario $S$ es la función más natural que asigna cada número al siguiente. Además, podemos considerar la relación binaria $+$ como iteración de $S$ . También $\times$ es un iteración de $+$ y $\exp$ es un iteración de $\times$ es decir

$\forall m,n\geq 1$

$m+n:=\underbrace{S(S(S(\cdots S}_{n\ \text{times}}(m))))$

$m\times n:=\underbrace{m+m+m+\cdots+m}_{n\ \text{times}}$

$m^n:=\underbrace{m\times m\times m\times \cdots\times m}_{n\ \text{times}}$

Construimos la rica aritmética de los números naturales a través de los tres operadores naturales anteriores. También muestran muchas relaciones mutuas complicadas entre sí. Pero, ¿por qué nos detenemos aquí en la aritmética de los números naturales y no seguimos adelante con la continuación de los operadores iterativos una y otra vez?

$m*n:=\underbrace{m^{m^{m^{.^{.^{.^{m}}}}}}}_{n\ \text{times}}$

$m\circledast n:=\underbrace{m*m*m*\cdots*m}_{n\ \text{times}}$

$m\circledcirc n:=\underbrace{m\circledast m\circledast m\circledast \cdots\circledast m}_{n\ \text{times}}$

$\vdots$

La cuestión es que quizá haya ricas interacciones entre estos nuevos operadores naturales y los operadores aritméticos ordinarios de los números naturales. Estas interacciones pueden revelar algunos aspectos profundos de cuestiones abiertas desde hace tiempo en la teoría de los números que, con suerte, pueden llevarnos a una solución en sí misma.

Pregunta: ¿Por qué nos detenemos en la etapa de exponenciación en la aritmética de los números naturales? ¿Existe algún problema matemático o filosófico en definir tales operadores generalizados y trabajar con ellos al igual que el sucesor, la suma, la multiplicación y la exponenciación? ¿Son "antinaturales" en algún sentido? En caso afirmativo, ¿qué significa esta esencia "no natural"? ¿Ha aparecido antes en algún texto este conjunto ampliado de operadores sobre números naturales? En caso afirmativo, introduzca sus referencias.

Answer 1

¿Por qué nos detenemos en la etapa de exponenciación en la aritmética de los números naturales?

En realidad, no nos detenemos ahí. La notación de flechas hacia arriba de Knuth generaliza las operaciones hasta cualquier nivel que se desee y la notación de flechas encadenadas de Conway aún más. Sin embargo, hay que tener en cuenta que todas estas generalizaciones son aplicables sólo para $n\in\mathbb{N}$ .

La incapacidad de generalizar y, por tanto, de detenerse en la exponenciación, es un problema sólo cuando se intenta ampliar la nomenclatura para incluir definiciones de REAL $n$ . Ese es un problema totalmente diferente y abre una lata de gusanos bastante grande. Véase la tetración en la Wiki para más detalles.

Answer 2

Otros han hecho un buen trabajo explicando cómo se puede generalizar la exponenciación. Voy a abordar la cuestión de por qué los matemáticos no están interesados en estas generalizaciones.

Creo que la razón principal por la que la flecha ascendente de Knuth no ha despegado de la misma manera que, por ejemplo, la exponenciación, es que algunas de las buenas propiedades de las que gozan la adición y la multiplicación empiezan a romperse con una mayor iteración. Algunas de estas buenas propiedades son

1. La asociatividad: $(a+b)+c=a+(b+c)$ y $(ab)c=a(bc)$ .
2. Conmutatividad: $a+b = b+a$ y $ab=ba$ .
3. Existencia de una identidad: $a + 0 = a$ y $a\cdot 1 = a$ .
4. Existencia de un inverso: $a - a = 0$ y $a\cdot \frac 1a=1$ .
5. Distributividad: $a(b+c) = ab + ac$ y $(a+b)c = ac + bc$ .

Los matemáticos han encontrado muy fructífero abstraer estas propiedades y estudiar otros "sistemas numéricos" que obedecen estas reglas, además de algunas otras. Esta línea de pensamiento conduce al álgebra conmutativa y al estudio de los anillos conmutativos, entre otras fértiles ramas de las matemáticas. Por tanto, tenemos una buena razón "moral" para interesarnos por las operaciones binarias que satisfacen algún subconjunto de las cinco propiedades anteriores: hay mucho que decir sobre ellas.

Veamos cómo es la exponenciación: ¿es la exponenciación una operación binaria "bonita"?

1. La asociatividad: $(a^b)^c\neq a^{(b^c)}$ en general.
2. Conmutatividad: $a^b\neq b^a$ en general.
3. Existencia de una identidad: $a^1 = a$ pero no hay $x$ tal que $x^a=a$ para todos $a$ . Así que la exponenciación sólo tiene una identidad parcial.
4. Existencia de una inversa: en realidad no tiene sentido hablar de una inversa porque sólo hay una identidad parcial. Es posible resolver la ecuación $x^b=c$ tomando la $b$ raíz de $c$ al menos cuando $c$ no es negativo. También es posible resolver la ecuación $b^x = c$ utilizando la función logaritmo, al menos cuando $b$ y $c$ son positivos y no son iguales a $1$ .
5. Distributividad: $a^{bc} \neq a^ba^c$ aunque $(bc)^a = b^ac^a$ . Así que la exponenciación es sólo parcialmente distributiva.

Ya puedes ver que la exponenciación es mucho más complicada que la suma y la multiplicación. En realidad hay dos funciones de exponenciación: $x\mapsto x^a$ y $x\mapsto a^x$ que se comportan de manera muy diferente. El primero se invierte tomando raíces y el segundo tomando logaritmos; ambos también empiezan a comportarse mal si los argumentos son negativos. Como puedes imaginar, los iterados superiores de la exponenciación son aún más complicados.

No quiero sugerir que los matemáticos no estudien nunca objetos que no tengan un comportamiento "agradable": hay muchos contraejemplos a esa afirmación. Pero sólo tendemos a estudiar los objetos con mal comportamiento cuando hay alguna utilidad clara para ellos, y la flecha hacia arriba de Knuth no parece ser mucho más que una buena forma de hablar de números realmente grandes.

Answer 3

Claro, los números grandes aparecen con moderada frecuencia, si se busca la literatura de investigación en Combinatoria . Los ejemplos que se me ocurren son el La notación de filas ascendentes de Knuth , Notación de filas encadenadas de Conway , Hiperoperadores , Tetration , Notación de barra de Cutler , Notación de Steinhaus-Moser .

Un buen punto de partida para adentrarse en el estudio de este tipo de operadores sería este artículo de Wikipedia : La notación de filas ascendentes de Knuth

Además, si te interesan los números grandes, quizá quieras ver esto: Googol

También puede leer La sabiduría de los grandes números publicado por la American Mathematical Society.

Answer 4

En lugar de pensar en la multiplicación como una suma repetida, podemos definirla como el único operador conmutativo y asociativo que distribuye sobre la suma y tiene el 1 como identidad. Esto sugiere otro enfoque para generalizar más allá de la multiplicación, preguntando qué operador distribuye sobre la multiplicación. Definamos el operador $$ a *_n b = \exp^n (\log^n(a) + \log^n(b)) $$ donde $\exp^n$ denota la aplicación repetida del $\exp$ y de forma similar para $\log^n$ . Los primeros casos son: $$ a *_0 b = a + b \\ a *_1 b = ab \\ a *_2 b = a^{\log(b)} = b^{\log(a)} $$ Se conocen como conmutativas de Bennett hiperoperaciones . El operador $*_2$ distribuye sobre la multiplicación, en el sentido de que $$ a *_2 (bc) = (a *_2 b)(a *_2 c) $$ En general, el operador $*_n$ distribuye sobre $*_{n-1}$ : $$ a *_n (b *_{n-1} c) = (a *_n b) *_{n-1} (a *_n c) $$ A diferencia de la exponentación y la tetración, estos operadores son todos conmutativos, asociativos y pueden aplicarse a los números complejos. Incluso podemos ampliar la secuencia en el otro sentido, preguntando "¿sobre qué distribuye la suma?". La respuesta es el operador $*_{-1}$ , definida como: $$ a *_{-1} b = \log(\exp(a) + \exp(b)) \\ a + (b *_{-1} c) = (a + b) *_{-1} (a + c) $$

Answer 5

La razón de un lógico:

Toda función recursiva (y mucho más) es definible en la estructura (de primer orden) $(\mathbb{N}, +, \times)$ pero no en $(\mathbb{N}, S, +)$ . Esto se debe a Godel. Para apreciar por qué este teorema no es trivial, intente encontrar una fórmula $\phi(x, y, z)$ en el lenguaje de la aritmética que expresa $x^y = z$ .