Una bola cerrada en un espacio métrico es un conjunto cerrado

Question

Demostrar que una bola cerrada en un espacio métrico es un conjunto cerrado

Mi intento: Supongamos que $D(x_0, r)$ es una bola cerrada. Demostramos que $X \setminus D $ está abierto. En otras palabras, necesitamos encontrar una bola abierta contenida en $X \setminus D$ .

Escoge $$t \in X-D \implies d(t,x_0) > r \implies d(t,x_0) - r > 0 $$ Dejemos que $B(y, r_1)$ sea un balón abierto, y elija $z \in B(y,r_1)$ . Entonces, debemos tener $d(y,z) < r_1 $ . Tenemos que elegir $r_1$ para que $d(z,x_0) > r$ . Obsérvese por la desigualdad del triángulo

$$ d(x_0,t) \leq d(x_0,z) + d(z,t) \implies d(z,x_0) \geq d(x_0,t) - d(z,t) > d(x_0,t) - r_1.$$

Obsérvese que si elegimos $r_1 = d(t,x_0)-r$ entonces hemos terminado.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Tu prueba consiste en algunos pasos correctos realizados en el orden equivocado, lo que la convierte en algo distinto a una prueba válida. Parece más bien un trabajo de preparación de una prueba. La reescribo a continuación, con algunas de las adiciones más importantes en negrita. También cambiaré $t$ a $y$ en todo momento; cuando escribió " $y$ ", probablemente quiso decir lo mismo que " $t$ ".

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Supongamos que $D(x_0, r)$ es una bola cerrada. Demostramos que $X\setminus D(x_0,r) $ está abierto. En otras palabras, para cada punto $y\in X\setminus D(x_0,r)$ necesitamos encontrar una bola abierta contenida en $X \setminus D$ con centro $y$ .

Desde $y \in X\setminus D(x_0,r)$ se deduce que $d(y,x_0) > r$ Así que $d(y,x_0) - r > 0 $ . Dejemos que $r_1 = d(y,x_0)-r$ .

Afirmo que el balón abierto $B(y, r_1)$ está contenida en $X\setminus D(x_0,r)$ . Para demostrarlo, considere cualquier $z \in B(y,r_1)$ . Obsérvese por la desigualdad del triángulo

$$ d(x_0,y) \leq d(x_0,z) + d(z,y) \implies d(z,x_0) \geq d(x_0,y) - d(z,y) > d(x_0,y) - r_1 =r.$$ Esto muestra $z\in X\setminus D(x_0,r)$ , lo que completa la prueba.

Answer 2

No creo que esto sea correcto. La idea parece correcta, pero la ejecución es pobre. Debería especificar que $y\in X\backslash D$ . Tampoco estoy seguro de cómo justificas tu última desigualdad. Si $t$ es arbitraria en $X\backslash D$ no podemos concluir $d(z,t)<r_1$ y $-d(z,t)>-r_1.$

Así es como yo resolvería el problema:

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico, $p\in X$ , $r>0$ .

Dejemos que $A=\{q\in X :d(p,q)\leq r\}$ . Sea $\{q_k\}\in A$ con $d(q_k,q)\rightarrow 0$ .

Queremos mostrar $q\in A$ .

Por la desigualdad del triángulo tenemos $$d(q,q_k)+d(q_k,p)\ge d(q,p)$$ . $\Rightarrow$ $$d(q,q_k)+r\ge d(q,p)$$ (Ya que $\{q_k\}\subseteq A)$

Ahora tome el límite como $k\rightarrow \infty$ de ambos lados y tenemos $$0+r\ge d(p,q)$$ $$\Rightarrow q\in A$$ $\Rightarrow A$ está cerrado $$QED$$