La primera parte de esta pregunta es bastante general: deje $X$ $Y$ ser noetherian integral separados de los esquemas que son regulares en codimension uno. Hay alguna relación entre el divisor del grupo de clase $\text{Cl}(X \times Y)$ y los grupos de $\text{Cl}(X)$, $\text{Cl}(Y)$? Por ejemplo, creo que no son naturales de mapas en divisores $\text{Div}(X) \to \text{Div}(X \times Y)$ $\text{Div}(Y) \to \text{Div}(X \times Y)$ que envían $Z \mapsto Z \times Y$$Z \mapsto X \times Z$. Son estos mapas bien definido módulo lineal de equivalencia? Si es así, son los inducidos por los mapas en los grupos de la clase inyectiva?
Esta pregunta se me ocurrió mientras trabajaba en Hartshorne ejercicio II.6.1, que afirma que $\text{Cl}(X \times \mathbb{P}^n) \cong \text{Cl}(X) \times \mathbb{Z}$. En este caso, teniendo en $H_{\infty} \subset \mathbb{P}^n$ a ser el hyperplane en el infinito, $Z = X \times H_{\infty}$, e $U = X \setminus Z$, existe un natural surjection $\text{Cl}(X \times \mathbb{P}^n) \to \text{Cl}(U) \cong \text{Cl}(X)$ cuyo núcleo es la imagen del mapa de $\mathbb{Z} \to \text{Cl}(X \times \mathbb{P}^n)$ que envía a $n \mapsto n \cdot Z$. ¿Por qué es este mapa inyectiva?
