¿Es el peine de Dirac una distribución templada?

Question

Demostrar o refutar la afirmación $$ III:=\sum_{k=-\infty}^\infty\delta_k\in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)$$ donde $\delta_k\varphi:=\varphi(k),\,\,\forall\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$

He intentado demostrar la linealidad y creo que se mantiene, pero no estoy tan seguro de la continuidad.

Answer 1

Sí, lo es. Tenga en cuenta que $$|\langle III,\varphi \rangle| = \left |\sum_{k\in \mathbb Z} \varphi(k)\right| = \left |\sum_{k\in \mathbb Z} (1 + k^2)\frac{\varphi(k)}{1 + k^2}\right|\leq \sup_{x\in \mathbb R} |(1 + x^2) \varphi(x)| \sum_{k\in \mathbb Z} \frac{1}{1 + k^2} $$ También $\sum_{k\in \mathbb Z} \frac{1}{1 + k^2}<\infty$ y $\sup_{x\in \mathbb R} |(1 + x^2) \varphi(x)|$ es claramente una seminorma en el espacio de Schwartz por lo que $III$ es continua.

Answer 2

Creo que sí; si $p_n(x)$ converge a $0$ en el espacio de Schwartz, entonces en particular, para cualquier $\alpha>0$ la secuencia de números $\sup_x |x^\alpha p_n(x)|$ converge a $0$ para $n\to\infty$ .

En particular, para cualquier $\epsilon>0$ existe $N$ s.t. para $n>N$ , $|p_n(x)|$ es menor que $\epsilon$ en $x\in [-1,1]$ y más pequeño que $\epsilon x^{-2}$ para $x\in \mathbb{R}\setminus [-1,1]$ . Pero entonces $\sum_{k\in\mathbb{Z}} p_n(k)$ es menor que $\epsilon (3 + \frac{\pi^2}{3})$ o algo así, así que $III(p_n)$ converge a $0$ .