¿Es cierto que $\sigma(\mathcal{A}\cap \mathcal{B})=\sigma(\mathcal{A}) \cap \sigma(\mathcal{B})$ ?

Question

Hace $\sigma(\mathcal{A}\cap \mathcal{B})=\sigma(\mathcal{A}) \cap \sigma(\mathcal{B})$ ? donde $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ son clases de subconjuntos de $\Omega$ .
He probado algunos ejemplos habituales pero no he encontrado un contraejemplo.

Answer 1

No, no es cierto. Tome cualquier conjunto $\Omega \neq \emptyset$ y $A \subseteq \Omega$ tal que $A \neq \emptyset$ y $A \neq \Omega$ . Si definimos

$$\mathcal{A} := \{A\} \quad \text{and} \quad \mathcal{B} := \{A^c\}$$

entonces $$\sigma(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = \{\emptyset,\Omega\}$$ mientras que $$\sigma(\mathcal{A}) \cap \sigma(\mathcal{B}) = \{\emptyset,A,A^c,\Omega\}.$$

Answer 2

Tome $\Omega=\{1,2\}$ y $\mathcal{A}=\{\{1\} \}$ y $\mathcal{B}=\{\{2\} \}$ . De hecho se puede demostrar que $\sigma(\mathcal{A}\cap \mathcal{B})\subseteq \sigma(\mathcal{A}) \cap \sigma(\mathcal{B})$

Answer 3

Otro ejemplo posiblemente interesante: considere $\Omega = \mathbb{R}$ , dejemos que $\mathcal{A}$ sea el conjunto de todos los intervalos abiertos, y $\mathcal{B}$ el conjunto de todos los intervalos cerrados.