Demostrar que conseguir paralelas transportadas no cambia el ángulo entre ellas- Tensores

Question

Debo decir que nunca he visto este tipo de preguntas en el Análisis Tensorial. Nuestro profesor había puesto esta pregunta en nuestro examen, pero no sé si pertenece a los tensores o no. La pregunta dice así:

1. Si un vector $u^{i}$ se transporta paralelamente a lo largo de una curva S, entonces $$u^{i}{}_{; j}~ \frac{dX^{j}}{dS}~=~0.$$ 2. Si el ángulo entre $u^{i}$ y $v^{j}$ es $\theta$ , demuestran que la obtención de paralelas transportadas no cambia el ángulo entre ellas.

Answer 1

Un vector $u^a$ se transporta en paralelo a lo largo de la curva integral del vector tangente $V^a \equiv \frac{dX^a}{d s}$ si tenemos $V^a\nabla_a u^b =0$ (un vector transportado en paralelo con respecto a sí mismo define una geodésica). El ángulo entre dos vectores $v^a$ y $u^a$ viene dada por $\cos\theta = \frac{v^a u_a}{\sqrt{v^av_a u^bu_b}}$ Por lo tanto, tomamos: $$ V^a \nabla_a (u^b v_b) = v_bV^a \nabla_a u^b+ V^a u^b \nabla v_b = 0,$$ ya que los vectores $v^a$ y $u^a$ se transportan en paralelo con respecto a $V^a$ . Desde $V^a \nabla_a (u^b u_b) = 0$ por la misma razón, $\theta$ permanece constante a lo largo de la curva integral de $V^a$ .