Cálculo de variaciones, minimización $\int_0^\pi y' ^2 - ky^2 dx$ . Por favor, compruebe mi trabajo.

Question

Tengo que minimizar el funcional

$$J[y] =\int_0^\pi y' ^2 - ky^2 dx$$

con sujeción a $y(0)=y(\pi)=0$ . El parámetro $k$ es positivo. Escribiendo la ecuación de Euler-Lagrange, tengo:

$$y'' +ky =0,$$

lo que implica $y=A\cos\sqrt{k}x + B\sin\sqrt{k}x $ . Sin embargo, al imponer las condiciones de contorno se obtiene en primer lugar $A=0$ y luego $B$ arbitraria, dado que $\sqrt{k} \in \mathbb{Z}$ Si no es así, no hay solución. Así, $k=m^2$ para $m \in \mathbb{N}$ .

En definitiva, las soluciones son

$$y_m = B\sin mx$$

Como quiero encontrar el valor mínimo de la funcional, sustituyo en la integral:

$$J[y_m]=\int_0^\pi B^2 m^2 \cos (2mx) \ dx = 0.$$

¿Es correcta esta solución?

Answer 1

Si su método fuera correcto, el mínimo lo alcanzaría la solución correspondiente a $B=0$ y el mínimo sería igual a $0$ .

Pero, para $y=B\sin x$ obtenemos $J[y]=\frac{\pi}{2}B^2(1-k)$ que para $k>1$ , $$\lim_{B\to\infty}J[y]=-\infty.$$ Por lo tanto, para tener un mínimo $k$ debe ser $\le 1$ o falta algo más en la formulación.