Descomposición de una matriz ortogonal como rotación y reflexión en $\mathbb R^4$

Question

Supongamos que $X\in O(4)$ y que $\det(X)=-1$ . Sea $F$ denotan el mapa de reflexión $(w,x,y,z)\mapsto (w,x,y,-z)$ .

He leído que podemos escribir $X=Y\circ F$ para algunos $Y\in SO(4)$ .

Sin embargo, no veo por qué exactamente. ¿Podría alguien explicarlo?

Answer 1

$F\circ F=I$ la identidad, por lo que $Y=X\circ F$ si $X=Y\circ F$ . Pero $\det(X)=\det(Y\circ F)=\det(Y)\det(F)=(-1)(-1)=1$ Así que $X\in SO(4)$ .

Answer 2

En general, si $G$ es un grupo, $S$ un subgrupo del índice $~2$ entonces $S$ es siempre un subgrupo normal, con dos cosets (izquierdo y derecho) $C_0=S$ y $C_1=G\setminus S$ . Si uno escoge cualquier $r\in C_1$ y luego (a la izquierda o a la derecha) la multiplicación por $r$ intercambiará los cosets $C_0$ y $C_1$ (esto es sólo decir que el cociente $G/S$ que sólo tiene dos elementos, es necesariamente un grupo cíclico de orden $~2$ ). Al ser la multiplicación por un elemento fijo siempre una biyección, esto significa que cada $x\in C_1$ es igual a $y\cdot r$ para un único $y$ con $y\in C_0=S$ .

Aplique esto con $G=O(4)$ , $S=SO(4)$ y $r=F$ (la hipótesis $\det(X)=-1$ le da $X\in C_1$ ).