Demostrando que $\|x\|_2 \geq \|x\|_1$ ?

Question

¿Cómo demostrarías que $\|x\|_2 \geq \|x\|_1$ o, en otras palabras, que $$\sqrt{\int_0^1|f(x)|^2 dx} \geq \int_0^1|f(x)|dx \quad?$$

Answer 1

Desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a las sumas de Riemann, tomadas en el límite $^\dagger$ :

$$\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}|f(x_i)|\right)^2\le \left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2}\right)\left(\sum_{k=1}^n |f(x_k)|^2\right) $$

$^\dagger$ Nota: : Si $a_n\le b_n$ para todos $n\ge 1$ y los límites existen, tenemos $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le\lim\limits_{n\to\infty}b_n$ .

Answer 2

Respuesta: Yo 1. observaría que $\displaystyle\iint g(x,y)\mathrm dx\mathrm dy\geqslant0$ , donde $g(x,y)=(f(x)-f(y))^2$ porque $g\geqslant0$ en todas partes, 2. ampliar el cuadrado que define $g(x,y)$ 3. utilizar la linealidad de la integral, y 4. concluir.

Además, este método me daría el caso de igualdad en la desigualdad, es decir, que $f$ es igual a una constante en casi todas partes.

Y por supuesto, por supuesto, te remitiría a esta joya de libro llamada La clase magistral de Cauchy-Schwarz: Una introducción al arte de las desigualdades matemáticas por J. Michael Steele.