Demuestre que esta variable aleatoria está uniformemente distribuida en $\left(0,1\right)$

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria continua con función de distribución $F_{X}\left(x\right)$ y que $Y=F_{X}\left(x\right)$ , demuestran que $Y\sim U\left(0,1\right)$ , donde $U$ es la distribución uniforme.

Dado que la función de densidad $f_{X}\left(x\right)$ puede verse como la derivada de $F_{X}\left(x\right)$ Este problema parece una aplicación obvia del Teorema del Cambio de Variable. Sin embargo, el enunciado del teorema requiere que la función en la que se evalúa la variable aleatoria (compuesta) sea estrictamente monótona (estrictamente creciente o estrictamente decreciente) y, como es bien sabido, las funciones de distribución sólo son no decrecientes.

Así que mi pregunta es: ¿se puede aplicar de alguna manera el Teorema del Cambio de Variable en este caso?

Gracias de antemano por la ayuda prestada.

Nota: Disculpen si hay algún error gramatical en la redacción, el inglés no es mi primera lengua.

Answer 1

Como escribió Did, deja que $Y=F_X(X)$ y observe que $F_X$ no tiene por qué ser estrictamente creciente para que se cumplan los siguientes argumentos. Si definimos la inversa generalizada de $F_X$ por $F_X^{\leftarrow}(y) =\inf \{ x \in \mathbb{R}: F_X(x)\geq y \}$ , entonces trata de probar los siguientes pasos

1. Si $F_X$ es continua entonces (si realmente se cumple) $F_X^{\leftarrow}$ es estrictamente creciente en $[\inf\{\text{Range}(F_X)\},\sup\{\text{Range}(F_X)\}]=[0,1]$ .
2. Utilice 1. para argumentar que $P(F_X(X)\leq x)=P(F^{\leftarrow}_X(F_X(X))\leq F^{\leftarrow}_X(x))$ para cualquier $x\in[0,1]$ .
3. Demuestra que $F^{\leftarrow}_X(F_X(y))\leq y$ y determinar para qué valores de $y$ uno tiene $F^{\leftarrow}_X(F_X(y))<y$ . Utilice esto para demostrar que $P(F_X^{\leftarrow}\circ F_X(X)=X)=1$ ( o mira esto ).
4. Demuestre que si $F_X$ es continua, entonces $F_X(F^{\leftarrow}_X(x))=x$ para cualquier $x\in[0,1]$ .
5. Utiliza 2.,3. y 4. juntos para demostrar que $F_X(X)\sim \text{Unif}(0,1)\iff P(F_X(X)\leq x)=x, \, \, \forall x\in[0,1]$ .