Evaluar $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z \sin (z)}{\left(z^2+1\right) \left(z^2+2\right)} \mathrm{d}z$

Question

Necesito ayuda para integrar $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z \sin (z)}{\left(z^2+1\right) \left(z^2+2\right)} \mathrm{d}z$$

He calculado la integral sobre el semicírculo superior cerrado en el plano complejo que es $\pi(\sinh(\sqrt2) - \sinh(1))$ .

Entonces, si calculo la integral sobre $z = R e^{i\phi}$ para $\phi \in [0, \pi]$ y hacer el límite $R$ a $\infty$ la integral debe ser cero. Y se deduce que

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z \sin (z)}{\left(z^2+1\right) \left(z^2+2\right)}\mathrm{d}z = \pi(\sinh(\sqrt2) - \sinh(1))$$

Pero Wolfram Alpha dice que esto es falso.

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Si dejas que $ \displaystyle f(z) = \frac{z \sin z}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}$ la integral no llega a cero a lo largo de la mitad superior de $|z|=R$ como $R \to \infty$ .

En su lugar, deja que $ \displaystyle f(z) = \frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)} $ .

Por el lema de Jordan, la integral a lo largo de la mitad superior de $|z|=R$ llega a cero a medida que $R \to \infty$ .

http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan%27s_lemma

Hay dos polos simples dentro del contorno cerrado en $z=i$ y $z=i \sqrt{2}$ .

Así que $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} \ dx = 2 \pi i \Big( \text{Res}[f(z),i] + \text{Res}[f(z),i \sqrt{2} \Big)$$

donde

$$ \text{Res}[f(z),i] = \lim_{z \to i} \ (z-i) \frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)} = \frac{ie^{-1}}{(2i)(1)} = \frac{1}{2e}$$

y

$$ \text{Res}[f(z),i\sqrt{2}] = \lim_{z \to i \sqrt{2}} \ (z-i\sqrt{2}) \frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)} = \frac{i \sqrt{2} e^{-\sqrt{2}}}{(-1)(2 i \sqrt{2})} = - \frac{e^{-\sqrt{2}}}{2}$$

Entonces

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} \ dx = 2 \pi i \left( \frac{1}{2e} - \frac{e^{-\sqrt{2}}}{2} \right)= i \pi\left(\frac{1}{e} - e^{-\sqrt{2}} \right)$$

Ahora sólo hay que igualar las partes imaginarias de ambos lados de la ecuación.