buscar un método directo para mostrar $(a_k)\in l^2$

Question

Deje $\{a_i\}, i=1, 2, \cdots$ ser un nonincreasing secuencia de números positivos y supongamos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{\sqrt{k}}<\infty~$, muestran que $\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2<\infty.$

Podría usted dar una prueba directa mediante la búsqueda de una desigualdad del tipo $\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2\leq f<\infty$ donde $f$ es una expresión relacionada con el ya conocido número $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{\sqrt{k}}$?

Gracias de antemano!

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Comentario:

Yo lo he solucionado este problema, pero mi método es indirecto, he utilizado uniformemente acotada principal y la desigualdad $lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}\sum_{j=1}^ka_j=0,\forall (a_k)\in l^2$, por lo que realmente quiero saber cómo resolver el problema mediante la búsqueda directa de la desigualdad.

Answer 1

Sistema $b_n=\frac{a_n}{\sqrt n}$, entonces el resultado deseado es equivalente a $$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty nb_n^2 &=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n b_n^2\tag{1}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty b_n^2\tag{2}\\ &\le\sum_{k=1}^\infty b_k\sum_{n=k}^\infty b_n\tag{3}\\ &\le\left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right)^2\tag{4} \end {Alinee el} $$ $b_n$ Dónde está una secuencia positiva monótonamente decreciente.

Explicación de pasos:

$(1)$ $\displaystyle n=\sum_{k=1}^n1$

$(2)$ cambiar el orden de adición

$(3)$ $b_k\ge b_n$ for $n\ge k$

$(4)$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\ge\sum_{n=k}^\infty b_n$

Answer 2

Sugerencia: prueba de condensación de Cauchy.

Como la secuencia de $\{a_k^2\}$ todavía es no creciente, tenemos que comprobar si la serie $\sum_n 2^na_{2^n}^2$ es convergente. Como $\frac{a_k}{\sqrt k}$ es no creciente, tenemos la condensación de que la serie $\sum_n2^n\frac{a_{2^n}}{2^{n/2}}$ es convergente.

Answer 3

Para enteros positivos $n$, vamos a $u(n) \in \ell^2$ tal que $u(n)_j = 1$ $j \le n$ $0$ lo contrario. Entonces podemos escribir $a = \sum_{j=1}^\infty b_j u(j)$ donde $b_j = a_j - a_{j+1}$. Ahora vamos a $f(a) = \sum_{j=1}^\infty a_j/\sqrt{j}$. Tenemos $$f(u(n)) = \sum_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{j}} \ge \int_1^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{n+1} - 2 \ge c \sqrt{n} = c \|u(n)\|$$ para algunas constantes $c > 0$ ( $c = 2 \sqrt{2}- 2$ ). Así $$f(a) = \sum_{j=1}^\infty b_j f(u(j)) \ge c^{-1} \sum_{j=1}^\infty b_j \|u(j)\| \ge c^{-1} \|a\|$$ En realidad deberíamos ser un poco más cuidadoso con límites, porque la $f$ no es un funcional lineal continua (y no está definida para todos los $a$), pero un adecuado argumento de la limitación de uso de sumas parciales deben trabajar.