Dejemos que $C$ sea una curva de Jordan en $\mathbb{R}^2.$ Entonces diga $U$ es su interior. Mi problema es que si siempre existe una métrica en $\mathbb{R}^2$ con respecto a la cual $U$ es exactamente un balón abierto.
Si $U$ es un dominio estrella, entonces creo que puedo establecer una métrica para lograrlo, pero para los casos generales no estoy seguro (supongo que no es correcto en general pero no se me ha ocurrido un contraejemplo).
Por el teorema de Schonflies, para cualquier curva de Jordan $C$ existe un homeomorfismo $h$ llevando el par $(\mathbb R^2,C)$ a $(\mathbb R^2,S^1)$ , donde $S^1$ es el círculo estándar. Sea $d$ sea la métrica habitual en el plano. Entonces $d'(x,y)=d(h(x),h(y))$ es una métrica en $\mathbb R^2$ que hace el trabajo que usted busca.
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