Conozco el resultado de Teorema de incompletitud de Gödel . Sin embargo, me resulta difícil convencerme de que cuando sustituimos la aritmética numérica normal por campos reales cerrados, que hay es un sistema axiomático completo. Después de todo, $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ Entonces, ¿por qué no podemos utilizar el sistema más "general" para la aritmética? Sé que otras personas también tienen problemas con esto. ¿Hay una explicación más intuitiva de por qué este resultado es posible y no contradictorio con el teorema de incompletitud?
Respuestas
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La razón por la que el resultado no contradice el Teorema de Incompletitud es que los números naturales no son definible sobre la teoría de los campos reales cerrados. A grandes rasgos, esto significa que no hay ninguna fórmula $F(x)$ de nuestra lengua tal que $F(a)$ es verdadera en los reales si y sólo si $a$ es un número natural.
Si existiera tal fórmula, tu intuición sería correcta, y podríamos traducir cualquier problema sobre los enteros bajo adición y multiplicación en un problema sobre los reales. Entonces la teoría de los campos reales cerrados, al ser recursivamente axiomatizable, no podría ser completa.
Podemos producir una fórmula en el lenguaje de los campos reales cerrados que "diga" $x=1$ . También podemos producir una fórmula que diga $x=2$ y una fórmula que dice $x=3$ y así sucesivamente. Entonces podemos decir también $x=1$ , $2$ o $3$ . Pero no hay solo fórmula que dice que $x$ es un número natural. (No podemos utilizar fórmulas infinitamente largas.) Por cierto, tampoco hay ninguna fórmula que diga que $x$ es racional.
Existe un fenómeno similar en la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica $0$ . La teoría está completa. Del hecho de la completitud podemos deducir inmediatamente, a partir del Teorema de Incompletitud, que los números naturales no son definibles en la teoría.
Añadido : Existe una clasificación completa (¡en el sentido informal!) de los conjuntos que son definible sobre la teoría de campos reales-cerrados. La idea se ha utilizado para establecer conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de modelos. Una serie de importantes resultados recientes provienen de la explotación de esa conexión.
David HAust
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Como se ha mencionado, no se puede aplicar la teoría de los campos reales cerrados para resolver problemas diofánticos, ya que $\rm\:\mathbb Z\:$ no es definible en el lenguaje elemental de los campos reales cerrados. Sin embargo, a no ser que se haya estudiado la teoría de modelos, esta respuesta probablemente no aportará mucha intuición al respecto. Para ello, considere las siguientes observaciones.
La razón principal por la que la teoría de primer orden de los reales resulta ser mucho más sencilla que los análogos diofánticos (enteros) es que la geometría es mucho más sencillo. En concreto, los conjuntos que son definibles por inecuaciones polinómicas reales -los llamados conjuntos semialgebraicos - puede descomponerse en un finito número de celdas (por ejemplo, cilindros) donde, en cada celda, cada polinomio definidor tiene signo constante. Por lo tanto, la comprobación de la veracidad de un enunciado de primer orden se reduce a un finito número de pruebas en las celdas de signo constante, que se decide trivialmente simplemente evaluando los polinomios en cualquier punto de la celda. Esto da lugar a un algoritmo para decidir la verdad de los enunciados de primer orden sobre los reales: el llamado algoritmo de descomposición algebraica cilíndrica (CAD) (una realización efectiva del famoso método de eliminación de cuantificadores de Tarski para los reales).
Por ejemplo, en el caso unidimensional los conjuntos definibles en el lenguaje de primer orden de $\rm\:\mathbb R\:$ son simplemente uniones finitas de intervalos. Así, por ejemplo, para comprobar si $\rm\ f(x) > 0\ \Rightarrow g(x) > 0\ $ podemos emplear el Teorema de Sturm para dividir $\:\mathbb R\:$ por el finito número de raíces de $\rm\:f,\:g\:,\:$ y luego elegir un punto $\rm\:r_0\:$ en cada intervalo y comprobar si $\rm\ f(r_0)>0\ \Rightarrow\ g(r_0)>0\:.\:$ El algoritmo CAD funciona de forma análoga en dimensiones superiores, al proyectando células de mayor dimensión a dimensiones inferiores. La propiedad clave es el resultado de Tarski y Seidenberg que los conjuntos semialgebraicos son conservado por las proyecciones . La estructura esencial innata se ha generalizado en el estudio teórico de modelos de estructuras o-minimales.
Contrasta esto con el estudio de las ecuaciones diofantinas (de primer orden). Cualquiera que haya estudiado la teoría de los números aprecia rápidamente la inmensa complejidad de la estructura de los conjuntos de soluciones de las ecuaciones polinómicas enteras, por ejemplo, las ecuaciones de Pell, las curvas elípticas, etc. Los resultados de indecidibilidad implican que no puede haber un procedimiento de decisión recursivo simple y uniforme como el de los reales. Cada salto a una dimensión superior puede requerir ideas completamente nuevas. Pero esto no debe verse como un perjuicio. Por el contrario, supone una fuente inagotable de ricos problemas que desafiarán constantemente nuestro ingenio.
