Si $\alpha$ y $\beta$ son raíces de la ecuación $x^2-2x+2=0$ entonces el menor valor de n para el que $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n=1$

Question

Así que un simple pensamiento aquí.

¿No debería ser simplemente cero? Quiero decir que no hay ninguna condición que establezca que n no puede ser 0, así que ¿por qué la respuesta es 4? Puede que sea una respuesta obvia, pero no me entra en la cabeza.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\dfrac\alpha\beta=r$ necesitamos $$r^n=1$$

$2=(1+r)\beta$

$2= r\beta^2$

$$\dfrac2r=\left(\dfrac2{1+r}\right)^2\iff r^2+2r+1=2r\iff r^2=-1$$

Answer 2

La ecuación tiene las soluciones $1+i$ y $1-i$ . Además $$\frac{1+i}{1-i} = i$$ Aunque $i^0 = 1$ creo que quieren $n \in \mathbb{N}, n \geq 1$ lo que te lleva a $n=4$ desde $$i^1 = i \neq 1,$$ $$ i^2 = -1 \neq 1,$$ $$i^3 = -i \neq 1$$ $$i^4 =1$$

Answer 3

Debe ser $$(1+i)^n=(1-i)^n$$

Answer 4

$x_{1,2} =1\pm i$ ;

$x_{1,2}= √2e^{\pm i(π/4)}$ ;

1) $x_1/x_2=i$ ; 2) $x_2/x_1=-i$ ;

1)' $(x_1/x_2)^n=i^n=1$ $ \rightarrow$ $n=4,8,..$

2)' ¿Puedes terminar?