¿Por qué es legítima para resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ tomando $\int \frac{1}{y}\ dy=\int \frac{1}{x}\ dx$?

Question

Las respuestas a esta pregunta solución de ecuación diferencial homogénea $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$? afirman que para encontrar una solución a la ecuación diferencial $$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x}$$ we may rearrange and integrate $$\int \frac{1}{y}\ dy=\int \frac{1}{x}\ dx.$$ If we perform the integration we get $\log y = \log x + c $ or $$y=kx$$ for constants $c, \in \mathbb{R}$ k. He visto a otros usar métodos como esto antes, pero no estoy seguro por qué funciona.

Pregunta: ¿por qué es legítima para resolver la ecuación diferencial de esta manera?

Answer 1

Para ser honesto, creo que es de BS enseñar a variables separables como éste sin la de Riemann-Stieljes integral.
La forma en que me resolverlos es haciendo lo que realmente se hace: integrar con respecto a $x$ en ambos lados.

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Recuerde que $y$ es una función (en la variable $x$). Por lo que su ecuación diferencial es, para todos los $x$ en un cierto intervalo, $y'(x)=\dfrac{y(x)}{x}$ o, equivalentemente, $\dfrac{y'(x)}{y(x)}=\dfrac {1}{x}$e integrando con respecto a $x$ que obtener el resultado deseado.

En mi opinión, la integración con respecto a $y$ no es nada más que un truco barato, de la misma manera $\dfrac{dy}{dx}=1\iff dy=dx$ es un barato truco. Funciona sólo porque de algunos de matemática superior.

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Más generalmente, si puede volver a escribir su DE $g(y(x))y'(x)=f(x)$ para algunas funciones $f$ $g$ que han antiderivatives, $F$$G$, en el intervalo de tiempo dado, a continuación,$g(y(x))y'(x)=f(x)\iff G(y(x))=F(x)+C$, para algunas de las $C\in \Bbb R$. (Para establecer $\Longleftarrow$ sólo se diferencian). Y si tenemos la suerte suficiente para $G$ a sea invertible, obtenemos $y(x)=G^{-1}\left(F(x)+C\right)$. Si $G$ a no es invertible, entonces esperemos que el teorema de la función implícita dará las soluciones a la DE implícitamente por la ecuación de $G(y(x))=F(x)+C$.

En su ejemplo, $g$ es la función de $t\mapsto \dfrac{1}{t}$ ha $t\to \log (|t|)$ como una antiderivada. (No olvide el valor absoluto).

Answer 2

Empiezas con $$ y'= \frac {y} {\implies \frac{y'}{y}=\frac{1}{x}\implies\int\frac{y'dx}{y}=\int \frac{dx}{x x}}, $$ y hacer el cambio de variables en la integral primera, que se traduce en lo que has escrito $$ \int\frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x} $$

Answer 3

No me gusta la notación que se utiliza a menudo cuando para resolver edos. Prefiero escribir la solución como esta:

\begin{align} & y'(x) = \frac{y(x)}{x} \quad \text{for all }x > 0 \\ \implies & \frac{y'(x)}{y(x)} = \frac{1}{x} \quad \text{for all }x > 0 \\ \implies & \log y(x) = \log x + C \quad \text{for all } x > 0 \,(\text{for some } C \in \mathbb R). \end {Alinee el}

(Estoy suponiendo $y(x) > 0$ para todos $x>0$.)