Presentación equivalente para el grupo fundamental del plano proyectivo

Question

Sabemos que $\langle a,b;(ab)^2=1\rangle$ y $\langle z;z^2\rangle$ son presentaciones del grupo fundamental del plano proyectivo. Por lo tanto, una se obtiene de la otra a través de Transformaciones de Tietze pero lo que obtengo es una contradicción, así que algo estoy haciendo mal y no sé qué es: $$\langle a,b;(ab)^2=1\rangle\cong\langle a,b,c;(ab)^2=1,c=ab\rangle\cong\langle a,b,c;c^2=1,a=cb^{-1}\rangle \\\cong\langle b,c;c^2=1\rangle\cong\mathbb{Z}*\mathbb{Z}_2$$ que no es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ . ¿Dónde está el error?