He intentado resolver la siguiente cuestión: $$\text{Let }f:(0,1) --> R\text{ be a differentiable function. Prove that if f' is bounded then } \lim_{x\to 0^+}f(x) \text{ exists}$$ Lo que he probado: Dije que si $f$ es diferenciable entonces existe el siguiente límite: $\lim_{x\to y}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \text{ for any x and y in (0,1)}$ y si $f'$ está acotado, entonces existe $\delta > 0 \text{ such that for any } y-\delta<x<y+\delta:\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ también está acotado.
Respuesta
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Existe $M$ tal que $|f'(x)| \leq M$ para todos $x \in (0,1)$ .
si $x,y \in (0,1)$ . Por el teorema del valor medio, hay $c$ en $(0,1)$ entre $x$ y $y$ tal que $f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$ entonces : $$\forall x,y \in (0,1) \quad |f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$$
dejar $(x_n)$ una secuencia tal que $\lim x_n =0$ . Para todos los $p,q \in \Bbb N$ que tenemos: $$|f(x_p)-f(x_q)| \leq M|x_p-x_q|$$ Desde $(x_n)$ converge es una secuencia de Cauchy entonces $(f(x_n))$ es también una secuencia de Cauchy. entonces $f(x_n)$ converge .
Ahora bien, si $(x_n)$ y $(y_n)$ son secuencias con límite $0$ dejar $L$ y $L'$ los límites de $f(x_n)$ y $f(y_n)$
Tenemos : $$|f(x_n)-f(y_n)| \leq M|x_n-y_n|$$ para todos $n \in \Bbb N$ entonces por límite : $$|L-L'| \leq 0$$ y $$L=L'$$
Todo esto demuestra que existe $L \in \Bbb R$ tal que para toda secuencia $(x_n)$ que converge a $0$ la qequencia $(f(x_n))$ converge a $L$ . lo que significa que $$\lim_{0^+} f(x)=L$$
