Estadística de la probabilidad condicional (estudiantes que estudian)

Question

En los últimos años, el 90% de los alumnos de Stats estudian para el primer examen parcial. De los que estudian, el 30% obtiene una calificación de A en el primer parcial, mientras que el 5% de los que no estudian obtienen una calificación de A. Si te enteras de que un alumno seleccionado al azar tiene una nota de A en el primer parcial, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado?

Bien, con estos datos, entonces: $$ \Pr(S) = 0.9 \\ \Pr(A|S) = 0.3 \\ \Pr(A|S') = 0.05 \\ $$

Donde $\Pr(S)$ es la probabilidad de estudiar y $\Pr(A)$ es la probabilidad de obtener una A.

Creo que estoy buscando $\Pr(S|A)$ . La fórmula que conozco para esto es:

$$ \Pr(S|A) = \frac{\Pr(AS)}{\Pr(A)} $$

La cuestión es que no conozco ninguna de esas probabilidades. No estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

El Teorema de Bayes puede ser poco intuitivo, yo sugeriría intentar el problema usando un diagrama de árbol . Aquí he hecho el árbol para el problema en cuestión:

Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante obtenga un sobresaliente y haya estudiado es de 0,27, y la probabilidad de que obtenga un sobresaliente sin estudiar es de 0,005.

Intuitivamente esto me basta para ver que la probabilidad de que un alumno haya estudiado dado que ha sacado un sobresaliente es

$P(S|A) = \frac{0.27}{0.27+0.005}$ .

Lo conseguí pensando en que las únicas ramas que permiten la condición de que el alumno haya sacado un sobresaliente son la primera y la tercera. Entonces, como quiero saber la probabilidad relativa, pienso cuál es la probabilidad de la rama superior dado que las únicas dos ramas son la primera y la tercera.

Bien, ahora en términos del Teorema de Bayes:

$P(S|A)= \frac{P(S)\,P(A|S)}{P(A)}$

El numerador se explica en las preguntas

$P(S) = 0.9$

$P(A|S) = 0.3$

Ahora lo difícil es conseguir $P(A)$ . Hay dos formas en que un estudiante puede obtener un sobresaliente, por lo que sumamos las probabilidades correspondientes de cada una para obtener

$P(A) = P(S)\,P(A|S)+P(S^*)\,P(A|S^*)$ .

Reinsertando en el Teorema de Bayes, llegamos a

$P(S|A)= \frac{P(S)\,P(A|S)}{P(S)\,P(A|S)+P(S^*)\,P(A|S^*)}$ .

De este modo, llegamos al mismo resultado que si miramos el árbol.

Espero que eso ayude.