$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2 +n} + \frac{2}{n^2 +n} + \frac{3}{n^2 +n} + \frac{4}{n^2 +n} + \dots + \frac{n}{n^2 +n}$ La cuestión es que cuando tomamos el límite podemos separar las cosas, ¿verdad? Así que podemos escribir $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ + $\lim_{n\to\infty} \frac{2}{n^2 + n}$ + .... $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2 + n}$ si tomamos los límites uno a uno obtenemos ceros. obtenemos suma = 0 pero si hacemos primero la suma y luego tomamos el límite $\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n.(n+1)}{2}}{n^2 + n}$ con la simplificación obtenemos 1/2 ¿entonces mi primera pregunta es incorrecta? ¿no podemos tomar los límites primero y luego hacer la suma?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Por Stolz-Cesaro
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2 +n} + \frac{2}{n^2 +n} + \frac{3}{n^2 +n} + \frac{4}{n^2 +n} + \frac{n}{n^2 +n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+n}=\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k-\sum_{k=1}^n k}{(n+1)^2+(n+1)-n^2-n}=\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n+2}=\frac12$$
user153126
Puntos
1
Otros dos enfoques:
1. $$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n} = \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+n} = \frac{n(n+1)/2}{n^2+n} =\frac{1}{2}$$
2. Sea $\Delta x = \frac{1}{n}$ y $x_k=k\Delta x$ , entonces reescribimos como una suma de Riemann derecha: $$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n} = \underbrace{\frac{1}{1+1/n}}_{\to\, 1} \cdot\underbrace{\sum_{k=1}^n x_k \Delta x}_{\to\,\int_0^1x\;dx \,=\,\frac12} \to \frac12 $$
