$\int_{\frac{1}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi} {\sin(x)\;dx}$ utilizando las sumas de Riemann?

Question

Cómo encontrar la integral $$\int_{\frac{1}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi} {\sin(x)\;dx}=1$$ utilizando las sumas de Riemann?

Answer 1

Utilizaremos las identidades $$ \sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac12\left(\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}x\right)}{\sin\left(\frac12x\right)}-1\right) $$ et $$ \sum_{k=1}^n\sin(kx)=\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)\sin\left(\frac n2x\right)}{\sin\left(\frac12x\right)} $$ La suma de Riemann es $$ \begin{align} &\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\sin(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac\pi3+\frac\pi3\frac kn\right)\frac\pi{3n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\sin\left(\frac\pi3\right)\cos\left(\frac\pi3\frac kn\right)+\cos\left(\frac\pi3\right)\sin\left(\frac\pi3\frac kn\right)\right)\frac\pi{3n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sin\left(\frac\pi3\right)\frac\pi{6n}\left(\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}\frac\pi{3n}\right)}{\sin\left(\frac12\frac\pi{3n}\right)}-1\right)+\cos\left(\frac\pi3\right)\frac\pi{3n}\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\frac\pi{3n}\right)\sin\left(\frac n2\frac\pi{3n}\right)}{\sin\left(\frac12\frac\pi{3n}\right)}\\ &=\sin^2\left(\frac\pi3\right)+2\cos\left(\frac\pi3\right)\sin^2\left(\frac\pi6\right)\\[9pt] &=\frac34+2\cdot\frac12\cdot\frac14\\[15pt] &=1 \end{align} $$

Answer 2

Una pista: $\sin(a) \sin(h/2) = \dfrac{\cos(a - h/2) - \cos(a + h/2)}{2}$ se puede utilizar para obtener una buena fórmula para $\sin(a) + \sin(a+h) + \ldots \sin(a + nh)$ .