¿Existe un elemento sin punto fijo y de orden infinito en $\operatorname{Sym}(X)$ para $X$ ¿Infinito?

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito. Sea $\operatorname {Sym}(X)$ denota el grupo de todas las biyecciones de $X$ en sí mismo. He estado pensando en la existencia de elementos de orden infinito en este grupo.

Para $\operatorname{card}(X)=\aleph_0,$ He encontrado la siguiente construcción. Identifiquemos $X$ y $\mathbb{N}.$ Dejemos que

$$ \operatorname{Sym}(\mathbb N)\ni\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & ...\\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 & 7 & 8 & 9 & 6 & 11 & ... \end{pmatrix}. $$

Está claro que para cualquier número natural $n$ existe otro número natural $k$ tal que

$$ \alpha^n(k)\neq k. $$

Este es un ejemplo de un elemento de orden infinito en $\operatorname{Sym}(\mathbb N).$ Estaba pensando si podría encontrar tal elemento para cualquier conjunto infinito $X.$ He encontrado esto. Deja $\leq$ sea una ordenación correcta de $X.$ Dejemos que $x_0$ sea el menor elemento de $X.$ Dejemos que $x+n$ denota el sucesor de $x+(n-1)$ si existe, y $x_0+0=x_0.$ Dejemos que $$Y=\{x_0+n\,|\,n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}.$$

Esto está bien definido porque $X$ es un conjunto infinito bien ordenado. Definimos $\beta\in\operatorname{Sym}(X)$ de la siguiente manera.

$$ \begin{array} & \beta(x_0+n)=x_0+\alpha(n+1)-1 & \mbox{for } n\in \mathbb N\cup \{0\}\\ \beta(x)=x & \mbox {for } x\not\in Y \end{array} $$

Esto, si no me equivoco, es un ejemplo de un elemento de orden infinito en $\operatorname{Sym}(X).$ Sin embargo, no satisface mis necesidades. Me gustaría encontrar un ejemplo con pocos o ningún punto fijo. Tengo problemas para formalizar mi razonamiento.

Me gustaría dividir el conjunto $X$ en copias de $\mathbb{N}$ y esencialmente utilizar el primer ejemplo en cada uno de ellos. A mi entender, cualquier conjunto bien ordenado se compone de, posiblemente inimaginables, copias de $\mathbb N$ poner una tras otra, luego copias del resultado de la operación anterior poner una tras otra, y así sucesivamente, con posibles colas de menor "orden" (o como se llame) al final. Aunque algo esté mal en mi entendimiento, estoy bastante seguro de que la partición que me gustaría tener existe. Pero me cuesta mucho escribir una demostración formal de esto porque nunca he hecho nada con ordinales.

Así que mi primera pregunta es si podrías ayudarme a formalizar este razonamiento. No estoy pidiendo una muy prueba formal, por supuesto. Sólo algo que me convenza, porque lo que he escrito no lo hace.

Mi segunda pregunta es si esto se puede hacer sin el uso del axioma de elección. Más concretamente:

1) ¿Es posible demostrar sin asumir el axioma de elección que para cualquier conjunto infinito $X,$ hay un elemento $\alpha\in\operatorname{Sym}(X)$ de orden infinito?

2) ¿Es posible demostrar sin asumir el axioma de elección que para cualquier conjunto infinito $X,$ hay un elemento $\alpha\in\operatorname{Sym}(X)$ de orden infinito, tal que el conjunto de puntos fijos de $\alpha$ tiene una cardinalidad menor que $\operatorname{card}(X)?$

Estaría muy agradecido si los que responden tienen la amabilidad de utilizar un lenguaje sencillo si es posible. Estoy muy lejos de saber mucho de estas cosas.

Answer 1

Si $X$ es contablemente infinito, sea $\varphi:X\to\mathbb{Z}$ sea cualquier biyección. Entonces

$$\sigma:X\to X:x\mapsto \varphi^{-1}(\varphi(x)+1)$$

hace el truco.

De manera más general, dejemos que $X$ sea cualquier conjunto infinito. Suponiendo que existe una biyección entre $X$ y un conjunto de la forma $Y\times\mathbb{Z}$ , sólo hay que utilizar la permutación $\langle y,n\rangle\mapsto\langle y,n+1\rangle$ de $Y\times\mathbb{Z}$ y lo devuelve a $X$ a través de la biyección. Siempre existirá dicha biyección si $X$ puede estar bien ordenado.

Prueba: Si $X$ puede estar bien ordenado, existe una biyección entre $X$ y algún cardinal infinito $\kappa$ . Sea $\Lambda$ sea el conjunto de ordinales en $\kappa$ que no tienen un predecesor inmediato (es decir, los ordinales del límite y $0$ ); entonces cada ordinal en $\kappa$ puede escribirse de forma única en la forma $\lambda+n$ para algunos $\lambda\in\Lambda$ y $n\in\omega$ . Sea $\varphi:\omega\to\mathbb{Z}$ sea cualquier biyección. Entonces el mapa $$\kappa\to\Lambda\times\mathbb{Z}:\lambda+n\mapsto\langle\lambda,\varphi(n)\rangle$$ es claramente una biyección. $\dashv$

Añadido: No sé qué grado de elección conlleva la suposición de que si $X$ es un conjunto infinito, existe una biyección entre $X$ y un conjunto de la forma $Y\times\omega$ . Implica que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito pero eso no es decir mucho: todo conjunto infinito es Dedekind-infinito es una condición muy débil, más débil que el axioma de elección para conjuntos contables.

Answer 2

Efectivamente, como han mencionado algunas de las otras respuestas es coherente que sin el axioma de elección la primera respuesta sea negativa.

El culpable es el hecho de que no todo conjunto infinito contiene una copia de $\mathbb N$ . Estos conjuntos se denominan Dedekind-finito (a menudo abreviado como D-finito o DF), y aunque la suposición de que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito no es una forma muy fuerte de elección, sigue siendo una suposición.

Los conjuntos definidos por Dedekind también pueden definirse como $A$ tal que $f:A\to A$ es inyectiva si es suryectiva si es biyectiva. Por supuesto todo conjunto finito tiene esta propiedad, pero como digo sin el axioma de elección podemos tener que hay conjuntos infinitos que son Dedekind-finitos.

Hecho I: Si $A$ es Dedekind-finito y $B\subsetneq A$ entonces $B$ tiene cardinalidad estrictamente menos que $A$ .

Más concretamente, podemos tener un tipo especial de conjunto D-finito llamado amorfo que es un conjunto muy peculiar: Es infinito, pero cada subconjunto es finito o su complemento es finito.

Hecho II: Si $A$ es amorfa, y $U$ es una partición de $A$ en infinitas partes, entonces todas, excepto las finitas, tienen el mismo tamaño, que es un número finito.

Hecho III: Si $A$ es amorfo, entonces no existe una relación binaria $R$ tal que $(A,R)$ es un conjunto ordenado linealmente.

Si $A$ es un conjunto amorfo y $f\colon A\to A$ es una biyección considera la órbita de cada elemento, si hay un elemento con una órbita infinita entonces $f^n(a)\neq f^j(a)$ para $n\neq j$ Por lo tanto, tenemos una copia de $\mathbb N$ en $A$ lo que contradice el hecho de que $A$ es amorfa. Esto significa que cada elemento tiene una órbita finita.

La partición de $A$ en las diferentes órbitas debe tener, si es así, algún $n$ tal que para casi todo $a\in A$ la órbita de $a$ es de tamaño $n$ puede haber un número finito de puntos con diferentes tamaños de órbita $k_1,\ldots,k_l$ .

Tome $k=\mathrm{lcm}(n,k_1,\ldots,k_l)$ y ahora afirmo que $f^k$ es la función de identidad. Dado que para cada $a\in A$ tenemos que $f^k(a)$ completa un ciclo completo en su órbita y vuelve así a $a$ .

Por lo tanto, ni siquiera podemos demostrar que para cada infinito $X$ hay un elemento de $Sym(X)$ que tiene un orden infinito, por lo que la segunda pregunta ya está negada.

Tenga en cuenta, sin embargo, que si $X$ es Dedekind-finito entonces para cada permutación no trivial $\pi\in Sym(X)$ el conjunto $\{x\in X\mid \pi x=x\}$ tiene una cardinalidad estrictamente menor que $|X|$ .

Answer 3

Utilizando el Definición del axioma de elección , dejemos que $\: f : X\to |X| \:$ sea una biyección. $\;\;$ Utilizando Aritmética ordinal , defina $\: g : X\to X \:$ por $\: g(x) = f^{-1}((\omega \times (f(x) \div \omega))+\alpha(f(x)-(\omega \times (f(x) \div \omega)))) \:$ .
$g$ es una biyección sin puntos fijos y de orden infinito.

De www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/preprints/amorph.ps,

"Corolario 1.3: Para cualquier conjunto amorfo $U$ El grupo $\operatorname{Sym}(U)$ es un grupo de torsión ."

(Por tanto, las respuestas a 1 y 2 son "no").

Answer 4

Cualquier conjunto infinito contiene un conjunto infinito contable que puede identificarse con los enteros $\mathbb{Z}$ , dándole una simple biyección de orden infinito $i \mapsto i+1$ en esa copia de $\mathbb{Z}$ y todos los demás elementos se mantienen en su sitio.

(esto responde a tu primera pregunta; para la segunda, imagino que podrías cubrir la mayor parte de tu conjunto con copias disjuntas de $\mathbb{Z}$ pero no estoy seguro de cuánta elección se requiere para ello).