Una función es continua si la preimagen de cada conjunto abierto es un conjunto abierto. (Esta es la definición en la topología y es la definición "correcta" en algún sentido). Las definiciones que usted cita de semicontinuidades afirman que las preimágenes de ciertos conjuntos abiertos son abiertas, pero no lo dice sobre todos juegos abiertos.
Tengan en cuenta que $\{ \{f \in \mathbb {R} \mid f > \alpha\ } \mid \alpha \in \mathbb {R} \} \cup \{ \{f \in \mathbb {R} \mid f < \beta\ } \mid \beta \in \mathbb {R} \} $ es una base (topológica) para $ \mathbb {R}$ . (Las intersecciones finitas de tales conjuntos generan todos los intervalos $(a,b) \subset \mathbb {R}$ que también es una base, aunque quizás más reconocible.) En consecuencia, una función que es a la vez semicontinua superior e inferior tiene la propiedad de que las preimágenes de los intervalos son las intersecciones de dos preimágenes abiertas (una preimagen superior y una preimagen inferior), por lo que son abiertas. Por lo tanto, ser ambos semicontinuo superior e inferior significa ser continuo. (Algunos detalles menores se eluden en este argumento, pero no son esenciales).
Como @Martín-BlasPérezPinilla observa, esto no tiene nada que ver con la continuidad de la derecha o la izquierda. Si desea discutir esas ideas, debe mirar hacia arriba cadlag y caglad .
Una forma de intuir la semicontinuidad superior e inferior es imaginarse sumergiendo el gráfico de la función en pintura. Si lo sumerges de manera que las partes inferiores de la función se humedecen, entonces obtienes las partes donde $f(x) < \alpha $ donde $ \alpha $ es el nivel hasta el que has sumergido la función. Si la sumerges de manera que sólo se mojen las partes superiores de la función (tal vez al pararte de cabeza), entonces obtienes las partes donde $f(x) > \alpha $ . Para ser semicontinuo superior, la definición que cita requiere que todos los posibles subconjuntos inferiores mojados de la gráfica de la función se proyecten sobre subconjuntos abiertos del dominio. Esto puede ser difícil si un componente conectado de la gráfica desciende (a la derecha) a un punto final cerrado que está por debajo de la función a la derecha de ella -- sumergir tal función en la pintura sólo lo suficiente como para incluir una (media) vecindad del punto final cerrado terminará con un pequeño segmento pintado que puede estar abierto en un extremo y cerrado en el extremo del punto final cerrado. Tal función no sería semicontinua superior. (Nótese que si los valores de la función a la derecha fueran debajo de (o a la misma altura que) el punto final cerrado, entonces necesariamente se pintarían en cualquier momento del punto final, por lo que el escenario descrito no tiene por qué resultar el mismo).
