Estoy bastante sorprendido de que nadie menciona aquí lo que le voy a mencionar, que por la forma en que la misma definición de la característica universal, pero de todos modos. Voy a dar el primer ejemplo de la característica universal vi cuando yo era un niño que fue acuñado como "característica universal" para mí, y luego pasar a la explicación de qué es un universal de la propiedad es en realidad.
Era, por supuesto, me enseñó con el general de los grupos y subgrupos normales, pero voy por la sencillez de uso de abelian grupos, que yo prefiero llamar $\mathbf{Z}$-módulos. Así que vamos $M$ $\mathbf{Z}$-módulo de e $M'$ ser un sub-$\mathbf{Z}$-módulo de $M$. Podemos definir una relación de equivalencia $\mathscr{R}$ en $M$ como sigue : $m_1,m_2\en M$ tenemos $m_1 \mathscr{R} m_2$ si y sólo $m_1 - m_2 \M'$. Nota $M/\mathscr{R}$ el cociente conjunto, y $\pi : M \M /\mathscr{R}$ canónica mapa enviar a un $m\in M$ a es de equivalencia de la clase $\pi(m)$. Para los elementos de $\xi_1 = \pi(m_1)$ y $\xi_2 = \pi(m_2)$ de $M/\mathscr{R}$ uno de los conjuntos de $\xi_1 + \xi_2 := \pi(m_1 + m_2)$ y uno comprueba inmediatamente que esta definición no depende de los representantes elegidos para el $\xi_i$s'. Para $n\in\mathbf{Z}$ y un elemento $\xi = \pi(m)$ de $M/\mathscr{R}$ uno de los conjuntos $n\xi := \pi(nm)$ y enseguida se comprueba también que esta definición no depende del representante elegido por $\xi$. Estas dos definiciones nos dan una estructura de $\mathbf{Z}$-módulo en $M/\mathscr{R}$, y nos cuenta ahora de $M/M'$ este $\mathbf{Z}$-módulo. Me enseñaron que $M/M'$ y los morfismos de $\pi$ (supongo que todavía tienen ahora) el siguiente universal de los bienes : por cada $\mathbf{Z}$-módulo $M"$ y cada uno de los morfismos $f : M \M"$ tales que $M' \subseteq \textrm{Ker}(f)$, existe una aplicación única de $g : M/M' \a M"$ tal que el siguiente diagrama es conmutativo :
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(Lo sentimos tener que usar las fotos, pero diagramas aquí son un poco doloroso (ver esto), y por otra parte, no es de ahora, simplemente que ahora forma diagonal mapas con un nombre, cerca de la flecha...)
Ahora, a partir de esto, puedo obtener una covariante functor $F : \mathfrak{Mod}_{/ \mathbf{Z}} \a \mathfrak{Set}$ de la categoría $\mathfrak{Mod}_{/ \mathbf{Z}}$ de $\mathbf{Z}$-módulos a la categoría de $\mathfrak{Set}$ de conjuntos mediante el establecimiento, por cada $\mathbf{Z}$-módulo $M"$ : $$ F(M") = \{f\in\textrm{Hom}_{\mathfrak{Mod}_{/ \mathbf{Z}}} (M,M")\;|\;M' \subseteq \textrm{Ker}(f)\},$$ (os dejo adivinar cómo se defina $F$'s de acción en morfismos) y este functor $F$ tiene una bonita propiedad, que las siguientes categorías interludio va a definir.
Deje que $\mathscr{C}, \mathscr{D}$ ser categorías y $F, G : \mathscr{C} \a \mathscr{D}$ dos covariante functors. Una de morfismos de functors (o también un functorial de morfismos) $\varphi: F \G$ consiste en los datos, para cada uno de los objetos de $X$ de $\mathscr{C}$ de un morfismos $\varphi(X) : F(X) \G(X)$ en $\mathscr{D}$ tal que para cada uno de los morfismos $f : X\a Y$ en $\mathscr{C}$ tenemos el diagrama conmutativo en $\mathscr{D}$ : ![enter image description here]()
Esto permite definir lo que es un isomorfismo de functors. Un functor covariante $F : \mathscr{C} \a \mathfrak{Set}$ se dice representable si es isomorfo a (covariante) functor $h_X : \mathscr{C} \a \mathfrak{Set}$ el envío de un $Y$ $\textrm{Hom}_{\mathscr{C}} (X,Y)$ (aquí también os dejo adivinar cómo se definen los $h_X$'s de acción en morfismos).
Ahora nuestro anterior functor $F$ es, de hecho, representable como $f\mapsto \pi\circ f$ define un functorial bijection $\textrm{Hom}_{\mathfrak{Mod}_{/ \mathbf{Z}}}(M/M',M") \F(M")$. Estamos casi listo, pero algo es raro.
De hecho, mostrando que un functor covariante es presentable podría parecer titanic, uno tiene que encontrar un valor de $X$ y, a continuación, para cada uno $de$ Y encontrar un bijection, y un functorial uno. Pero una de las claves de la propiedad simplifica todo. Es el
Yoneda del lexema. Deje que $X$ de ser un objeto de $\mathscr{C}$ y dejar que $\psi : h_X \F$ ser un functor de morfismos. No existe una única $\xi\in F(X)$ tal que $\psi = \varphi_{\xi}$ donde $\varphi_{\xi}$ es el functor de morfismos $h_X \F$ definida por $\varphi_{\xi}(f) = F(f)(X)$.
Prueba. El ejercicio ! ;-) $\square$
Gracias a Yoneda del lema, podemos ver que si $F$ es representable, tenemos una functorial isomorfismo $\psi : h_X \F$, lo que equivale a preguntar por un objeto $X$ pf $\mathscr{C}$ y un elemento $\xi\in F(X)$ tal que $\varphi_{\xi}$ es un isomorfismo, que es, tal que $f \mapsto F(f)(\xi)$ es un bijection de $\textrm{Hom}_{\mathscr{C}} (X,Y)$ $F(Y)$. Uno dice que tal un par de $(X,\xi)$ representa $F$.
Ahora nuestro anterior functor $F$ es, de hecho, representado por el par $(M/M',\pi$. Esto es lo que estrictamente significa la frase "$M/M'$ y los morfismos de $\pi$ tiene las siguientes universal de la propiedad : para cada etc". Después de haber definido lo que "tener un universal de los bienes" significa, me permiten trabajar la definición universal de los bienes.
Esto permite definir lo que es un isomorfismo de functors. Un functor covariante $F : \mathscr{C} \a \mathfrak{Set}$ se dice representable si es isomorfo a (covariante) functor $h_X : \mathscr{C} \a \mathfrak{Set}$ el envío de un $Y$ $\textrm{Hom}_{\mathscr{C}} (X,Y)$ (aquí también os dejo adivinar cómo se definen los $h_X$'s de acción en morfismos).
