De la obra de David Williams Probabilidad con Martingales
Pregunta relacionada: Deducción de una estrategia de juego óptima (utilizando martingalas).
Lo que he probado:
Para el nº 2, si $\ln Z_n - n \alpha$ es un supermartingale, entonces para $m < n$ ,
$$E[\ln Z_n - n \alpha | \mathscr F_m] \le \ln Z_m - m \alpha$$
$$ \to E[\ln Z_N - N \alpha | \mathscr F_0] \le \ln Z_0 - 0 \alpha$$
$$ \to E[\ln Z_N - N \alpha] \le \ln Z_0$$
$$ \to E[\ln \frac{Z_N}{Z_0}] \le N \alpha$$
¿Es eso cierto?
Para no 1, para $m < n$ ,
$$E[\ln Z_n - n \alpha | \mathscr F_m] = E[\ln Z_n | \mathscr F_m] - n \alpha$$
$$ = E[\ln \frac{Z_n}{Z_0} | \mathscr F_m] - n \alpha + \ln Z_0$$
$$ = E[\ln \frac{Z_n}{Z_{n-1}} | \mathscr F_m] + ... + E[\ln \frac{Z_{m+1}}{Z_{m}} | \mathscr F_m]$$
$$+ \ln \frac{Z_m}{Z_{m-1}} + ... + \ln \frac{Z_{1}}{Z_{0}} - n \alpha + \ln Z_0$$
Tenga en cuenta que
$$Z_n - Z_{n-1} \le |Z_n - Z_{n-1}| \le C_n |\epsilon_n - \epsilon_{n-1}| \le 2C_n \le 2Z_{n-1}$$
Además, creo que
$$\ln \frac{Z_n}{Z_{n-1}} \le |Z_n - Z_{n-1}|$$
Por lo tanto, tenemos
$$E[\ln \frac{Z_n}{Z_{n-1}} | \mathscr F_m] + ... + E[\ln \frac{Z_{m+1}}{Z_{m}} | \mathscr F_m]$$
$$+ \ln Z_m - n \alpha$$
$$\le E[2Z_{n-1} | \mathscr F_m] + ... + E[2Z_{m} | \mathscr F_m]$$
$$+ \ln Z_m - n \alpha$$
$$= 2(E[Z_{n-1} | \mathscr F_m] + ... + E[Z_{m} | \mathscr F_m])$$
$$+ \ln Z_m - n \alpha$$
Una de las cosas que hay que hacer es demostrar que
$$2E[Z_{n-1} | \mathscr F_m] + ... + 2E[Z_{m} | \mathscr F_m] \le (n-m) \alpha$$
posiblemente demostrando que $2E[Z_{\{\cdot\}} | \mathscr F_m] \le \alpha$
¿Cómo lo haría?
Algo más:
$$E[\ln \frac{Z_n}{Z_m} | \mathscr F_m] + \ln Z_m - n \alpha$$
$$ \le E[|Z_n - Z_m| | \mathscr F_m] + \ln Z_m - n \alpha$$
$$ \le E[2Z_m | \mathscr F_m] + \ln Z_m - n \alpha$$
$$ \le 2Z_m + \ln Z_m - n \alpha$$
Ahora $2Z_m \le (n-m) \alpha?$ Tenemos
$$2Z_m = 2\sum_{k=1}^{m} C_k(\epsilon_k - \epsilon_{k-1})$$
$$\le 2\sum_{k=1}^{m} Z_{k-1}$$
No estoy muy seguro de cómo mostrar eso
$$2\sum_{k=1}^{m} Z_{k-1} \le (n-m)\alpha$$
si es que eso es cierto.
¿Cómo puedo abordar este problema?
Para el no 3, ni idea. ¿Alguna pista? Creo que tiene algo que ver con el tiempo de parada. Tal vez tengamos que usar el lema de ff (cuadro rojo):
?
