¿Cómo es el determinante de $(X'X)$ ¿relacionado con la varianza?

Question

Estoy trabajando en un problema (y de hecho tengo la respuesta) pero no sé por qué esta es la respuesta, ¿alguien puede explicar esta igualdad? Tiene que ver con el determinante de la matriz particionada $(X'X).$

Dejemos que $$X=[x_0, x_1, \ldots,x_{k-1},x_k]=[W,x_k] $$ y que $\operatorname{rank}(X)=k+1$

a.) demostrar que $|X'X|=|W'W|(x_k'x_k-x_k'W(W'W)^{-1}W'x_k)$

lo cual es bastante obvio por la matriz particionada

$$(X'X)=(W,x_k)'(W,x_k)$$ que tiene un determinante igual a $$|W'W|(x_k'x_k-x_k'W(W'W)^{-1}W'x_k)$$

b, sin embargo, es más difícil.

b.) de a, deducir $|W'W|/|X'X|>1/x_k'x_k$ Utilizaremos esto para demostrar que en el modelo lineal habitual $y=X\beta + \epsilon, \operatorname{Var}(\widehat{\beta}_k)\geq\sigma^2(x_k,x_k)$

Con la información que figura a continuación, puedo resolver este problema, pero ¿por qué se mantiene la igualdad que figura a continuación?

La parte que he subrayado era sólo un dato y no estoy seguro de cuál es el asunto, ¿podría alguien explicarme cómo se relacionan así el determinante y la varianza?

Answer 1

Este es el resultado de utilizar La regla de Cramer para calcular la inversa de $\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X}$ .

Obsérvese que la matriz $(\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X})^{-1}$ es la matriz de covarianza de los parámetros $\beta_i$ . Así que $$ \text{Var}(\beta_1) = (\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X})^{-1}_{1,1} $$ El primer elemento de la matriz anterior es la varianza de este parámetro $\beta_1$ . Ahora para calcular este valor podemos utilizar la regla de Cramer. Para utilizar la regla de Cramer para encontrar la inversa de una matriz $A$ tenemos $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)}\text{Adj}(A) $$ En este caso $A=\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X}$ y el elemento que buscamos en $\text{Adj}(A)$ es $|F|$ .

La regla de Cramer es una forma muy poco efectiva de calcular una inversa en comparación con los métodos estándar. Esta regla suele aparecer en situaciones como ésta, en las que se necesita una expresión para un elemento específico de la inversa.