el inverso de la izquierda no es igual al inverso de la derecha

Question

¿Es posible tener una función que tenga la inversa izquierda y derecha pero que sean desiguales?

Un inverso a la izquierda significa que la función debe ser uno a uno, mientras que un inverso a la derecha significa que la función debe ser onto.

¿Cómo pueden ser válidas ambas condiciones simultáneamente sin ser iguales?

Un ejemplo será realmente útil. Gracias de antemano

Answer 1

Supongamos que $f(g(x))=x$ y $h(f(x))=x$ entonces $h(x)=h(f(g(x))=g(x)$ . Así que tienen que ser iguales.

Answer 2

Para las funciones son iguales siempre que existan. Sea $f$ sea una función con inversa izquierda $g$ y el inverso de la derecha $h$ entonces $$g=g\cdot id=g(fh)=(gf)h=h$$

Answer 3

No se pueden tener inversos izquierdos y derechos desajustados.

Si $f$ es un inverso de la izquierda para $g$ y $h$ es un inverso de la derecha para $g$ (denota la función de identidad $\mathrm{id}(x)=x$ ) tenemos $f \circ g = \mathrm{id}$ y $g \circ h = \mathrm{id}$ así que $f = f \circ \mathrm{id} = f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h = \mathrm{id} \circ h = h$ . Así que $f=h$ es un inverso de doble cara.

Esto es cierto siempre que se tenga una operación asociativa. Sólo las operaciones no asociativas permiten tener inversos izquierdos y derechos no coincidentes.

Por cierto... la equivalencia de "existencia de un inverso correcto" y "ser onto" supone el axioma de elección (para los que se preocupan por esas cosas).