Tengo una pregunta sobre la siguiente propiedad, que no conocía hasta ahora:
¿Por qué la integral de Ito tiene una expectativa cero? ¿Es esto cierto para cada integrador y cada integrando? ¿O está restringido a procesos especiales, es decir, es $$\mathbb{E}\left[\int f \, \mathrm{d}M\right]=0$$ para todas las Martingalas locales $M$ y predecible $f$ ¿tal que la integral está bien definida?
Gracias por la aclaración.
Esta afirmación es errónea en general.
Puede fallar incluso cuando el integrador $M_t$ es un movimiento browniano. De hecho,
Dada una distribución de probabilidad $P$ en $\mathbb{R}$ es posible encontrar una solución adaptada $t$ -proceso medible $f(\omega,t)$ con $\mathbb{P}\left(\int_0^1 f^2(\omega,t)\,dt<\infty\right)=1$ tal que la variable aleatoria $$\int_0^1 f(\omega,t) \, dB_t$$ tiene distribución $P$ .
Esta afirmación se conoce como el teorema de la representación de Dudley (véase el papel original ). Por lo tanto, la expectativa de la integral estocástica puede tomar cualquier valor real, ser infinita o no existir.
Otro contraejemplo surge de la ecuación diferencial estocástica $$dX_t = X^2_t\, dB_t, \quad X_0=x, \quad \textrm{where } x>0.$$ Se puede demostrar que la solución existe, es única, es una martingala local estrictamente positiva, pero $\mathbb{E} X_t \to 0$ como $t\to \infty$ . Vea los detalles en la obra de George Lowther blog de donde procede este ejemplo.
Una condición suficiente para la integral $\int_0^t f(\omega, s)\, dB_s$ para ser una martingala en $[0,T]$ es que
En este caso, efectivamente, $\mathsf{E} \left(\int_0^T f(\omega,s)\, dB_s\right)=0$ .
Si el integrador $M_t$ es una martingala arbitraria, y el integrando $f$ está acotada, entonces la integral es una martingala, y la expectativa de la integral es de nuevo cero ( prueba ).
Por último, si el integrador $M_t$ es un local martingala, se puede decir muy poco sobre la expectativa de la integral. Si $f(\omega,t)$ es suficientemente agradable, la integral $\int_0^t f(\omega,s) \, dM_s$ es una martingala local, pero eso no garantiza que la expectativa sea cero, como muestra el segundo contraejemplo anterior.
Consideremos el proceso estocástico relacionado dado por la SDE $dX_t = f(t,X_t,M_t) dM_t$ y observe que, dado que $M_t$ es una martingala local, $dM_t$ sólo contribuirá a la volatilidad del proceso, no a la deriva. Por lo tanto, $dX_t$ no tiene deriva y por lo tanto
$\mathbb{E} \left[\int_{t_0}^{t_1} dX_t\right] = \mathbb{E} \left[X(t_1) - X(t_0)\right] = 0$ .
Respuesta intuitiva: para una integral de Ito con respecto al movimiento browniano (y suficientemente agradable $f$ ), $\mathbb{E}\left[\int_0^t f(B_s) dB_s\right] = 0$ porque cada pequeño $dB$ tiene media cero - de hecho, tiene una distribución que es simétrica respecto a cero (e, independientemente de dónde $B$ es!). Puedes pensar en la integral, al igual que en una integral normal, como una suma ponderada de muchos pequeños $dB$ y el hecho de multiplicarlos por un factor no cambia el hecho de que su media es cero. El hecho que se está utilizando aquí es exactamente la propiedad martingala.
[Pero, como han señalado otros, esta respuesta intuitiva no se mantiene necesariamente: la integral de Ito podría resultar ser sólo una martingala local, no una martingala. Sin embargo, ser una martingala local significa que tiene media cero "localmente": véase la definición .
En cuanto a una afirmación más general: en Kallenberg (15.12) encuentro que si $M$ es una martingala local continua con un proceso de variación cuadrática (finito) $[M]$ y $V$ es un proceso progresivo (implica predecible) con $\mathbb{E}[\int_0^t V^2_s d[M]_s] < \infty$ para todos $t>0$ entonces $N_t = \int_0^t V_s dM_s$ es una martingala local continua. Si se trata de una martingala, entonces $\mathbb{E}[N_t]=0$ para todos $t>0$ . Como en general es sólo una martingala local, en su lugar hay una secuencia de tiempos de parada crecientes $\tau_k$ que tiende a $\infty$ tal que $\mathbb{E}[N_{\min(t,\tau_k)}] = 0$ para cada $k$ .
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