Demostrando que un subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es finitamente generado

Question

Una pregunta dice: Utilizando los teoremas de isomorfismo o de otra manera, demuestra que un subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado también es finitamente generado.

Yo diría que para un grupo abeliano finitamente generado $G$, existen elementos $g_1,\dots, g_n$ tal que una combinación lineal de ellos genera todo el grupo. Por lo tanto, como cada elemento de un subgrupo tiene un elemento en $G$ y por lo tanto puede ser generado por una combinación lineal de $g_1,\dots, g_n$. Esto significa que $g_1,\dots, g_n$ abarcan todo el subgrupo y por lo tanto existe un subconjunto de $g_1,\dots, g_n$ que genera el subgrupo.

Esta respuesta parece demasiado "de álgebra lineal" en lugar de "de teoría de grupos" y no logro ver cómo se podrían utilizar los teoremas de isomorfismo. ¡Se agradecería la ayuda!

Answer 1

Esto se sigue del siguiente teorema, que es un ingrediente común en la prueba del teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados:

Teorema. Sea $r\gt 0$ un entero positivo, y sea $H$ un subgrupo de $\mathbb{Z}^r$. Entonces existe una base $a_1,\ldots,a_r$ de $\mathbb{Z}^r$, un entero $d$, $0\leq d\leq r$, y enteros positivos $m_1,\ldots,m_d$ tales que $m_1|m_2$, $m_2|m_3,\ldots,m_{d-1}|m_d$ de modo que $m_1a_1,\ldots,m_da_d$ es una base para $H$. En particular, $H$ es libre y finitamente generado.

Puedes ver una demostración de esto en esta respuesta anterior.

Para ver cómo esto demuestra el resultado, supongamos que $G$ es abeliano y finitamente generado por $g_1,\ldots,g_r$. Sea $H$ un subgrupo de $G$. Existe una sobreyección $\mathbb{Z}^r\to G$ dada por asignar el vector de base estándar $\mathbf{e}_i$ a $g_i$; el subgrupo $H$ corresponde a un subgrupo $\mathcal{H}$ de $\mathbb{Z}^r$ por los teoremas de isomorfismo. Por el Teorema, $\mathcal{H}$ es finitamente generado, y por lo tanto su imagen, $H$, también es finitamente generado (generado por las imágenes de los generadores de $\mathcal{H}$).

Answer 2

Esto se sigue básicamente del hecho de que $\mathbb Z$ es noetheriano.

Digamos que un módulo $M$ sobre un anillo conmutativo $R$ es noetheriano si todo submódulo de $M$ es finitamente generado. Esta condición es estable bajo extensiones, si $0\to A\to B\to C \to 0$ es una secuencia exacta de módulos de $R$, y $A$ y $C$ son noetherianos, entonces $B$ es noetheriano. De manera conversa, si $B$ es noetheriano, entonces $A$ y $C$ también lo son.

Decimos que un anillo conmutativo $R$ es noetheriano si $R$ es un módulo noetheriano sobre sí mismo. Si $R$ es un anillo noetheriano, entonces $R^n$ es un módulo noetheriano para todo $n\ge 1$ por estabilidad de la extensión.

Así que, si $R$ es un anillo noetheriano, entonces cada módulo finitamente generado sobre $R$ es noetheriano.

Answer 3

Aquí hay una demostración por inducción en el número de generadores.

Para $n=1$ es fácil ver que el subgrupo de un grupo cíclico siempre es cíclico. Ahora supongamos que la afirmación es cierta para todos los grupos abelianos con como máximo $n$ generadores.

Consideremos $G= (x_1,\ldots,x_n,x_{n+1})$ y $G'=(x_1,\ldots , x_n)$. Sea $H$ cualquier subgrupo de $G$, entonces $H\cap G'$ es un subgrupo de $G'$, por lo tanto, por hipótesis inductiva $H\cap G'$ es finitamente generado. Por un teorema de isomorfismo obtenemos $$H/H\cap G' \cong HG'/G'\le G/G'$$

Ahora $G/G'$ es generado por $x_{n+1}G'$ lo que implica que $H/H\cap G'$ es cíclico generado por $yH\cap G'$ y supongamos que $H\cap G'$ es generado por $y_1,\ldots,y_k$ entonces es fácil ver que $H$ es generado por $y_1,y_2,\ldots,y_k$ y $y$.