Para que la multiplicación de matrices funcione, hay que multiplicar un $m \times n$ matriz por una $n \times p$ matriz, por lo que tenemos $$\bigg(m \times n\bigg)\bigg( n\times p \bigg).$$
Pero ¿qué pasa con un $1 \times 1$ ¿Matriz? ¿Es sólo un escalar? Pero toda matriz puede ser multiplicada por un escalar; así que $1 \times 1$ ¿las matrices rompen la regla?
A $1\times 1$ matriz no es lo mismo que un escalar. Hay una correspondencia uno a uno entre ellas, pero $[a]$ y $a$ son dos cosas diferentes, la primera es una matriz y la segunda es un escalar. La confusión viene del hecho de que los anillos $R$ y $M_1(R)$ son isomorfos, por lo que $M_n(R)$ es isomorfo a $M_n(M_1(R))$ . Cuando se habla de tratar $[a]$ como un escalar, estás utilizando implícitamente este isomorfismo.
La multiplicación de matrices puede considerarse una generalización del producto vectorial.
Un $n$ -vector de fila de dimensiones puede ser multiplicado por un $n$ -vector de columnas de dimensiones. El resultado es un valor escalar conocido como producto punto (un caso especial de la producto interior ).
Estos dos vectores también pueden considerarse como matrices: un $1\times n$ multiplicado por $n\times 1$ . El resultado debería ser entonces un $1\times 1$ matriz, y el elemento de esa matriz será ese producto punto.
Ciertamente, hay espacio para considerar $1\times 1$ matrices como escalares, cuando es conveniente hacerlo.
No hay conflicto entre el producto de una matriz por un escalar, y el producto de dos $1\times 1$ matrices. Por ejemplo $2 \times [3] = [6]$ et aussi $[2][3] = [6]$ .
Por supuesto, el ${scalar}\times {matrix}$ caso no está restringido por $m\times n/n\times k$ compatibilidad: simplemente escala cada elemento de la matriz por el escalar. Pero esa diferencia semántica desaparece en el $1\times 1$ caso.
Así que no se rompe realmente ninguna regla. En todos los casos en los que se puede multiplicar una matriz por un escalar o por una matriz que sólo contenga ese escalar, el resultado es el mismo.
Pero la multiplicación escalar tiene una libertad adicional. Desde el punto de vista tipográfico, si se "eliminan los corchetes" del $1\times 1$ se gana la flexibilidad de hacer un tipo diferente de multiplicación.
Sí. La respuesta sencilla es que una matriz de 1 por 1 es un escalar y un escalar es una matriz de uno por uno. Esto tiene sentido porque si se considera el producto escalar de dos vectores (que siempre devuelve un escalar) como un vector fila por un vector columna, siempre se obtiene una matriz de 1 por 1. No hay distinción ya que tienen todas las mismas propiedades (conmutatividad, misma inversa, asociativa, etc...), si quieres ser "raro", puedes dejar los [paréntesis] alrededor de la matriz de 1 por 1 y decir que hay un isomorfismo del grupo de matrices de 1 por 1 a los escalares de F (R o C, etc). Defínelo como, g([A])=A. Si quieres ser realmente prolijo sólo tienes que comprobar que si la matriz es [0] no tiene inversa, y por lo tanto g([0])=0 y g^-1 no existe para esta "matriz" en particular.
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