La compacidad de $\operatorname{Spec}(A)$

Question

En un ejercicio de Atiyah-Macdonald se pide demostrar que el espectro primo $\operatorname{Spec}(A)$ de un anillo conmutativo $A$ como un espacio topológico $X$ (con la topología de Zariski) es compacta.

Ahora bien, como los conjuntos abiertos básicos $X_f = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} (A) : \{f\} \not\subseteq \mathfrak{p} \}$ forman una base para la Topología de Zariski basta con considerar el caso en que

$$X = \bigcup_{i \in I} X_{f_i}$$

donde $I$ es un conjunto de índices. Entonces tomando el complemento en ambos lados obtenemos que

$$\emptyset = \bigcap_{i \in I} X_{f_i}^c$$

por lo que no existe un ideal primo $\mathfrak{p}$ de $A$ de manera que todos los $f_i$ están en $\mathfrak{p}$ . Ahora desde aquí puedo demostrar que el ideal generado por el $f_i$ 's es todo el anillo de la siguiente manera. Como no hay ningún ideal primo $\mathfrak{p}$ de manera que todos los $f_i \in \mathfrak{p}$ es evidente que no hay $\mathfrak{p}$ tal que $(f_i) \subseteq \mathfrak{p}$ para todos $i \in I.$ Si sumamos todas las $i$ entonces da $$\sum_{i \in I} (f_i) = (1).$$

Este es el problema:

¿Cómo demuestro desde aquí que existe una ecuación de la forma $1 = \sum_{i \in J} f_ig_i,$ donde $g_i \in A$ y $J$ algún subconjunto finito de $I$ ?

Esta parte me ha dado dolor de cabeza. No estoy seguro de si la parte de la finitud tiene que ver con el álgebra, la topología o el hecho de que estamos tratando con ideales primos.

No se trata de un problema de deberes, sino de un problema de autoaprendizaje.

$\textbf{Edit:}$ He publicado mi respuesta a continuación tras la discusión con Dylan y Pierre.

Answer 1

Así que después de todas las aportaciones de Pierre y Dylan, he decidido publicar mi respuesta aquí:

Supongamos que $X$ está cubierto por $\bigcup_{i\in I} X_{f_i}$ . Nuestro objetivo es demostrar que $X$ también puede estar cubierto por $\bigcup_{i \in J} X_{f_i}$ donde $J$ es un subconjunto finito de $I$ .

Esto equivale a demostrar (como en el comentario de Dylan) que $\emptyset = \bigcap_{i \in J} V(f_i)$ . Suponiendo que ésta no es vacía, tenemos un ideal primo $\mathfrak{p}$ que contiene cada $f_i$ para todos $i \in J$ . Ahora bien, por el razonamiento de mi post anterior sabemos que el ideal $\sum_{i \in I} (f_i) = (1)$ . Pero entonces, por definición de la suma de ideales, el ideal $\sum_{i \in I} (f_i)$ se compone de elementos de la forma $\sum x_i$ donde $x_i \in (f_i)$ y casi todos los $x_i$ (es decir, todos menos un conjunto finito) son cero.

Esto significa que tenemos un subconjunto finito J de I tal que $\sum_{i \in J} (f_i) = (1)$ . Recordemos que, por supuesto, tenemos un ideal primo $\mathfrak{p}$ que contiene cada $f_i$ para $i \in J$ . Sin embargo, $\mathfrak{p}$ contiene necesariamente todas las combinaciones lineales del $f_i's$ . En particular, existe una combinación lineal de los $f_i's$ que nos da $1$ . Pero entonces $1 \in \mathfrak{p}$ que es una contradicción. Por tanto, esta intersección finita está vacía. Dado que nuestra cobertura abierta inicial para $X$ era arbitraria, hemos terminado.

$\hspace{6in} \square$

Answer 2

Esta es una forma de demostrarlo $X$ es cuasi-compacto sin invocar el hecho de que el $X_f:=X\setminus V(f)$ generar la topología de $X:=\text{Spec}A$ .

Dejemos que $(\mathfrak a_i)_{i\in I}$ sea una familia de ideales que satisfaga $$ \bigcap_{i\in I}V(\mathfrak a_i)=\varnothing, $$ y observar sucesivamente

$\bullet\quad\displaystyle V\left(\sum_{i\in I}\mathfrak a_i\right)=\bigcap_{i\in I}V(\mathfrak a_i)=\varnothing,$

$\bullet\quad\displaystyle\sum_{i\in I}\mathfrak a_i=(1),$

$\bullet\quad\displaystyle\sum_{i\in F}\mathfrak a_i=(1)$ para algún subconjunto finito $F$ de $I$ ,

$\bullet\quad\displaystyle\bigcap_{i\in F}V(\mathfrak a_i)=V\left(\sum_{i\in F}\mathfrak a_i\right)=V(1)=\varnothing$ .

EDITAR. El propósito de esta edición es (a) enunciar y demostrar la Proposición I. $1.1.4$ página $195$ en la versión de Springer de EGA I (véase la referencia más abajo), y (b) realizar el experimento mental que consiste en definir la topología de Zariski sobre el espectro primo de un anillo conmutativo en términos de subconjuntos abiertos (en lugar de cerrados).

Referencia precisa: Elementos de geometría algebraica I Volumen $166$ de Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, A. Grothendieck, Jean Alexandre Dieudonné, Springer-Verlag, $1971$ .

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo y $X$ el conjunto de sus ideales primos. Para cualquier subconjunto $M$ de $A$ escribimos $$ U(M) $$ para el conjunto de aquellos ideales primos de $A$ que hacen no contienen $M$ .

Si $\mathfrak a$ es el ideal generado por $M$ entonces $U(M)=U(\mathfrak a)=U(r(\mathfrak a))$ .

Tenemos las bonitas fórmulas $$ M\subset N\implies U(M)\subset U(M), $$ $$ U\left(\bigcup_{i\in I}\ M_i\right)=\bigcup_{i\in I}\ U(M_i), $$ y, para los ideales $\mathfrak a$ y $\mathfrak b$ , $$ U(\mathfrak a\cap\mathfrak b)=U(\mathfrak a)\cap U(\mathfrak b). $$ En general, tenemos $$ U(0)=\varnothing,\quad U(1)=X, $$ $$ U\left(\bigcup_{i\in I}M_i\right)=U\left(\sum_{i\in I}M_i\right)=\bigcup_{i\in I}\ U(M_i), $$ $$ U(\mathfrak a\cap\mathfrak b)=U(\mathfrak a\mathfrak b)=U(\mathfrak a)\cap U(\mathfrak b), $$ que muestra que el $U(M)$ forman una topología. Nota: $$ U(\mathfrak a)\subset U(\mathfrak b)\iff r(\mathfrak a)\subset \mathfrak b. $$ La igualdad $$ U(\mathfrak a)=\bigcup_{f\in\mathfrak a}\ U(f)\qquad(*) $$ muestra que el $U(f),f\in A$ forman la base de nuestra topología.

La proposición I.1.1.4 de la versión de Springer de EGA I dice

$U(\mathfrak a)$ es cuasi-compacto $\iff$ $U(\mathfrak a)=U(f_1,\dots,f_n)$ para algunos $f_1,\dots,f_n$ en $A$ .

Prueba.

$\Longrightarrow:\ $ Esto se desprende inmediatamente de $(*)$ .

$\Longleftarrow:\ $ Como $U(f_1,\dots,f_n)$ es la unión de los $U(f_j)$ basta con demostrar que $U(f)$ es cuasi-compacto. Si $$ U(f)\subset\bigcup_{i\in I}\ U(\mathfrak a_i), $$ entonces un poco de poder $f^k$ de $f$ está en $\sum_{i\in I}\mathfrak a_i$ . Pero entonces $f^k$ está en $\sum_{i\in F}\mathfrak a_i$ para algún subconjunto finito $F$ de $I$ , lo que implica $$ U(f)\subset\bigcup_{i\in F}\ U(\mathfrak a_i). $$