¿Qué significa el axioma de la sustitución y por qué debería creerlo?

Question

Aquí El profesor Blass describe la siguiente jerarquía acumulativa de conjuntos:

Comience con algunas entidades no-conjuntos llamadas átomos ("algunos" podría ser "ninguno" si quiere un mundo consistente exclusivamente en conjuntos), luego forme todos los conjuntos de éstos, luego todos los conjuntos cuyos elementos son átomos o conjuntos de átomos, etc. Este "etc." significa construir más y más niveles de conjuntos, donde un conjunto en cualquier nivel tiene elementos sólo de niveles anteriores (y los átomos constituyen el nivel más bajo). Esta construcción iterativa puede continuarse transfinitamente, a través de secuencias de niveles bien ordenadas y arbitrariamente largas. Esta llamada jerarquía acumulativa es lo que yo (y la mayoría de los teóricos de conjuntos) queremos decir cuando hablamos de conjuntos.

Queremos acordar los siguientes principios:

1. Para cada nivel hay un nivel siguiente.
2. Para cada secuencia de niveles: $l_1,l_2,l_3,\dots$ hay un nivel que sucede a todos los niveles $l_1,l_2,l_3,\dots$ . Se podría llamar a este nivel "nivel límite".

Pregunta:

¿Por qué el axioma de sustitución es verdadero bajo esta interpretación del término "conjunto" (conjunto = cualquier cosa que se forme en algún nivel de esta jerarquía)?

Answer 1

En la lista de correo de Foundations of Mathematics hace algunos años, Arnon Avron argumentó que la sustitución es la forma en que los matemáticos construyen naturalmente muchos conjuntos . Cito un ejemplo de su artículo:

Cuando se le pide que escriba un término que denote el conjunto de los monotonos de los elementos de $\mathbb N$ , Apuesto a que al menos 999 matemáticos (ya sea en el sentido amplio incluyendo a los estudiantes de primer año, o en un sentido más restringido) de 1000 escribirían escribirían: $$\{\{n\}: n\in {\mathbb N}\}$$ y no $$\{x\in P(P({\mathbb N})):\exists n\in {\mathbb N}. x=\{n\}\}.$$ Esto no es sólo porque el primero es más corto, sino porque directamente traduce la definición en palabras de este conjunto, y precisamente refleja nuestra intuición de cómo se forma/construye este conjunto. Por el contrario, uno tiene que pensar un rato para conseguir la segunda definición correctamente (y para muchos estudiantes es incluso difícil al principio entender por qué este término es una descripción correcta de este conjunto. Cualquiera que haya impartido un curso básico de teoría de conjuntos o de matemáticas discretas ha experimentado esto). Por lo tanto, está claro que prácticamente todo el mundo confía en la sustitución para obtener este conjunto, y no en el axioma del conjunto de potencias.

Según esta línea de pensamiento, la sustitución es una característica intrínseca de cualquier descripción fiel del universo de conjuntos, incluida la jerarquía acumulativa.

Answer 2

Hay una maravillosa entrada de blog de Joel David Hamkins en La recursión transfinita como principio fundamental en la teoría de conjuntos que profundiza en este tema.

Mi respuesta a tu pregunta sería entonces: "Debemos creer en el axioma de sustitución porque creemos en la recursividad, incluso a nivel transfinito".

Answer 3

Para argumentar que la concepción iterativa implica algo más débil que la Separación no restringida (implicada por la Sustitución no restringida), es decir $\Sigma_2$ Sustitución, véase Randall Holmes 2001 http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/sigma1slides.ps . (Según el profesor Holmes, "esto contiene un error, que Kanamori me señaló y que sé cómo arreglar").