¿Por qué la matriz de proyección de una proyección ortogonal es simétrica?

Question

Soy bastante nuevo en esto, así que espero que me perdone si la pregunta es ingenua. (Contexto: Estoy aprendiendo econometría del libro de Davidson & MacKinnon "Teoría y métodos econométricos" y no parecen explicar esto; también he mirado Luenberger libro de optimización que trata de las proyecciones a un nivel un poco más avanzado, pero sin suerte).

Supongamos que tengo una proyección ortogonal $ \mathbb P$ con su matriz de proyección asociada $ \bf P$ . Estoy interesado en proyectar cada vector en $ \mathbb {R}^n$ en algún subespacio $A \subset \mathbb {R}^n$ .

Pregunta ¿Por qué se deduce que $ \bf {P}=P$$ ^T $, that is, $ \bf ¿P$ es simétrico? ¿Qué libro de texto podría mirar para este resultado?

Answer 1

Este es un resultado fundamental del álgebra lineal sobre las proyecciones ortogonales. Una aproximación relativamente sencilla es la siguiente. Si $u_1, \ldots, u_m$ son vectores ortonormales que abarcan un $m$ -subespacio dimensional $A$ y $\mathbf{U}$ es el $n \times p$ con la matriz $u_i$ como las columnas, entonces $$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ Esto se deduce directamente del hecho de que la proyección ortogonal de $x$ en $A$ puede calcularse en términos de la base ortonormal de $A$ como $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ De la fórmula anterior se deduce directamente que $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$ y que $\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

También es posible dar un argumento diferente. Si $\mathbf{P}$ es una matriz de proyección para una proyección ortogonal, entonces, por definición, para todo $x,y \in \mathbb{R}^n$ $$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$ En consecuencia,
$$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y $$ para todos $x, y \in \mathbb{R}^n$ . Esto demuestra que $\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ De ahí que $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Answer 2

Un intento de intuición geométrica... Recordemos que:

1. Una matriz simétrica es autoadherente.
2. Un producto escalar está determinado únicamente por los componentes en el mutua espacio lineal (e independiente de las componentes ortogonales de cualquiera de los vectores).

Lo que se quiere "ver" es que una proyección es autoadherente y, por tanto, simétrica, según (1). ¿Por qué es así? Consideremos el producto escalar de un vector $x$ con la proyección $A$ de un segundo vector $y$ : $ \langle x,Ay \rangle$ . Siguiendo (2), el producto dependerá únicamente de los componentes de $x$ en el ámbito de la proyección de $y$ . Así que el producto debe ser el mismo que $\langle Ax,Ay \rangle$ y también $\langle Ax,y\rangle $ siguiendo el mismo argumento.

Desde $A$ es autocontenido, es simétrico.