Dada una $4 \times 4$ matriz hermitiana, ¿cómo descompongo la matriz hermitiana en una combinación lineal de unitarios?
Respuesta
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Las matrices hermitianas son unitariamente diagonalizables. Es decir, si $X$ es un Hermitiano $4\times4$ matriz compleja, entonces un conjunto completo de vectores propios no nulos puede ser reescalado extendido a una base ortonormal para $\mathbb{C}^4$ que a su vez forman las columnas de una matriz unitaria $U$ y luego $X=UDU^{-1}$ donde $D$ es la matriz diagonal de valores propios (reales) (ordenada para que corresponda a las columnas de $X$ ).
Por lo tanto, basta con escribir $D$ como una columna lineal de matrices unitarias. De hecho, podemos encontrar una base para las matrices diagonales reales que consiste en matrices diagonales ortogonales.
Obsérvese que esta matriz tiene determinante no nulo y, por tanto, sus columnas son linealmente independientes:
$$ V= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Así, al girar cada columna de $V$ en una matriz diagonal se obtiene la base deseada $\{D_1,D_2,D_3,D_4\}$ . Si convertimos $D$ en un vector, podemos utilizar $V$ como una matriz de cambio de base para encontrar los componentes $a_i$ dentro de la descomposición $D=a_1D_1+a_2D_2+a_3D_3+a_4D_4$ resolviendo $d=Va$ para $a$ (donde $d$ es $D$ vectorizado y $a$ es el vector de coeficientes $a_i$ ).
