El concepto más importante que relaciona el tamaño de los agujeros de la jaula de Faraday con la atenuación de la señal del teléfono móvil es la idea de una frecuencia de corte. En el caso de los agujeros redondos, se modelarían como guías de ondas cilíndricas. Para simplificar, consideraremos guías de ondas rectangulares.
Si se cumplen las condiciones de contorno en la pared metálica, se obtienen los llamados modos eléctricos transversales (TE) y magnéticos transversales (TM). Estos parecen ondas parcialmente estacionarias, con una componente de onda viajera para el tercero. Para los modos TE, son de la forma (para la polarización en la dirección y):
$$E = E_0 \sin(k_x x) \cos(k_y y) e^{i(k_z z-\omega t)}$$
Hay una multitud de modos de ondas estacionarias. Estos se describen por diferentes valores de $k_x$ y $k_y$ que se resuelven poniendo la expresión anterior a cero en las paredes de la guía de ondas (para la parte sinusoidal), o derivando a cero (para la parte cosenoidal). Las soluciones:
$$k_x = \frac{m\pi}{w}$$ $$k_y = \frac{n\pi}{h}$$
Donde $w$ y $h$ son la anchura y la altura de la guía de ondas, y $m$ y $n$ son números enteros. Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de onda, obtenemos la relación entre los diferentes $k$ componentes y frecuencia.
$$\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 = {k_x}^2+{k_y}^2+{k_z}^2 $$
La menor frecuencia posible es cuando $k_z = 0$ y $m=1,n=0$
$$f_c= \frac{c}{2w}$$
Esta es la frecuencia de corte. Por debajo de esta frecuencia, la señal decae exponencialmente al propagarse por la estructura. Para demostrarlo, resuelve para $k_z$ y escribirlo en términos de frecuencia de corte.
$$k_z = \frac{2 \pi}{c} \sqrt{f^2-{f_c}^2}$$
Evidentemente, a frecuencias por debajo del corte, $k_z$ se convierte en algo imaginario. Sustituyendo esto en nuestra expresión de onda viajera, se convierte en un decaimiento exponencial.
$$\alpha := \frac{2 \pi}{c} \sqrt{{f_c}^2-f^2}, f < f_c$$
$$E = E_0 \sin(k_x x) \cos(k_y y) e^{-\alpha z-i\omega t}$$
Obsérvese que para nuestra guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte dependía únicamente de la anchura. En general,
$$\lambda_c \approx \textrm{largest feature size}*2 $$
(Esto es exactamente cierto para una guía de ondas rectangular, y debería mantenerse aproximadamente para otras formas).
En el caso de las jaulas de Faraday con aberturas del tamaño de centímetros, la frecuencia de corte se sitúa en torno a los 20GHz, que es bastante grande en comparación con las señales de los teléfonos móviles en el rango de los 2GHz. Podemos aproximar la constante de decaimiento $\alpha$
$$\alpha \simeq \frac{2 \pi f_c}{c} = \frac{2\pi}{\lambda _c} $$
Para calcular la cantidad de desintegración, tenemos que suponer una cierta longitud $l$ a la abertura (equivalentemente, el grosor del material de la jaula), y luego sustituir $l$ para $z$ en la expresión de la onda. Convirtiendo esto en una escala de decibelios, obtenemos la siguiente pérdida de potencia:
$$\frac{l}{\textrm{largest feature size}} (48.6 \textrm{dB})$$
Otro punto importante es que la señal interferirá negativamente con ella misma en la jaula, excepto en unos pocos puntos dentro de la jaula donde se amplifica efectivamente (probablemente el centro). Si las características de la jaula son bastante grandes, es posible que pueda notar este punto caliente de la señal.
Edición: También hay efectos complejos en los que los campos de un agujero pueden inducir campos en otro agujero. El análisis anterior es una descripción simplificada de un problema de campo complejo, pero espero que los principios generales se mantengan.
