Hace 3 meses y medio que estoy sentado y girando en torno a las Desigualdades, pero todavía no soy capaz de entender bien ni siquiera las Desigualdades más fundamentales como la Desigualdad de Cauchy y la Desigualdad AM-GM. He probado con libros de Pham Kim Hung , Zdravko Cvetkovski y el libro Desigualdades - Un enfoque de la Olimpiada Matemática pero ninguno es útil. Cualquier buena recomendación o ayuda que me lleve por el buen camino y gracias a la cual mi tiempo sea más fructífero será considerada celestial.
Estos problemas se atribuyen a Samin Riasat Fundamentos de las desigualdades de la Olimpiada ( ¡otro libro más! ) y para una nota de que estas desigualdades deben ser resueltas por métodos seriamente elemental . De hecho, sólo hay que emplear la desigualdad de Cauchy y la desigualdad AM-GM, y nada más. Estos pueden ser tomados como ejemplos para explicarme qué intuición y conocimiento son esenciales para probar Desigualdades que están a un paso de lo básico-.
$1.$ Sean a, b, c números reales positivos tales que $a + b + c = 1$ . Demostrar que $$\frac{a}{\sqrt {a+2b}}+\frac{b}{\sqrt {b+2c}}+\frac{c}{\sqrt {c+2a}} \lt \sqrt{\frac{3}{2}}$$ Aquí te proporciono un pequeño espacio para que entiendas lo que no
Utilicé Cauchy ya que hasta este punto del libro las únicas desigualdades que se enseñaban eran la desigualdad de Cauchy y la desigualdad AM-GM.
Primero transformé la estructura de la proposición en la forma estándar de C-S como sigue $$\left(\frac{a}{\sqrt {a+2b}}+\frac{b}{\sqrt {b+2c}}+\frac{c}{\sqrt {c+2a}}\right)^2 \lt \frac{3}{2}$$ Y luego se eliminó el $\lt \frac{3}{2}$ ' durante un tiempo para conocer el LHS. En el siguiente paso, recordé como C-S por la intuición de que cuando se da el lado menor, debe ser la suma de un producto de dos cantidades que se van a separar en cada término y al cuadrado, sumado por separado por el cuadrado y la suma de todos los primeros factores y los segundos factores y finalmente multiplicado.
La innovación debe aplicarse ahora, aquí en este paso.
Una pregunta natural es: ¿en qué dos factores se dividen los términos? Este es el paso en el que requiero asesoramiento.
Mi intento fue este $$\left(\sqrt{a} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt {a+2b}}+\sqrt{b} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt {b+2c}}+\sqrt{b} \times \frac{\sqrt{c}}{\sqrt {c+2a}}\right)^2 \lt \frac{3}{2}$$ El LHS es
$$\le \left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2b}\right)=\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2b}\right)$$ por la restricción de la pregunta. Pero lleva a $$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2b} \lt \frac{3}{2}$$ Y aquí falla mi intento. No sé de qué infierno salió esa estricta desigualdad, y cómo demostrar el resto de mi intento. No sé si es verdadero o falso, pero siento que este enfoque era demasiado simple para borrar el problema y se requiere algo más de desierto.
Me gustaría saber si mi elección de libros es demasiado avanzada, o las preguntas son demasiado difíciles o algo más que objeta mi progreso?
Por último, hay otra pregunta para la que necesito una solución.
$2.$ Dejemos que $a, b, c > 0$ . Demostrar que $$\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\le \sqrt{3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}$$ Se aplicó el mismo enfoque, pero sin éxito.
