Inclusión de Lp en L1 en dominios acotados mediante la desigualdad de Holder

Question

Sobre dominios acotados, $L^p \subset L^1, p>1$ porque en tales dominios una función no es integrable si la función es demasiado grande. Exponenciar la función la hace más grande.

¿Es posible demostrar que $L^1(a,b)$ es un espacio más general que $L^p(a,b),p>1$ utilizando la desigualdad de Holder (abajo)?

$$\int_{a}^{b}|f(x)g(x)|dx \leq \Big(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx\Big)^{1/p} \Big(\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx\Big)^{1/q}$$

Answer 1

Si $f\in L^p(a,b)$ avec $p>1$ entonces utilizando la desigualdad de Holder con $f$ y $1$ obtenemos $$ \int_a^b|f(x)|\;dx\leq\Big(\int_a^b|f(x)|^p\;dx\Big)^{\frac{1}{p}}\Big(\int_a^b\;dx\Big)^{\frac{1}{q}}=(b-a)^{\frac{1}{q}}||f||_p $$ Por lo tanto, $f\in L^1(a,b)$ y de hecho $$ ||f||_1\leq (b-a)^{\frac{1}{q}}||f||_p$$