Problemas genéricos de teoría de grupos elementales.

Question

Esta pregunta es sobre problemas genéricos de teoría de grupos. Aquí hay ejemplos para lo que me refiero:

Demostrar que cualquier grupo de orden $p^2$ , donde $p$ es un primo, es abeliano.

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Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $2n$ . Supongamos que la mitad de los elementos de $G$ son el orden $2$ y la otra mitad forma un subgrupo $H$ de orden $n$ . Demostrar que $H$ es de orden impar ( $n$ es impar) y que es abeliana.

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"Dejemos $G$ sea un grupo con $|G|=pq$ para algunos $p$ , $q$ primos tales que $p>q,qp1$ . Prueba $G$ es cíclico".

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La mayoría de las veces me encuentro atacando este tipo de problemas sin una estrategia coherente, simplemente lanzando toda mi munición (teorema de Cauchy, teorema de Lagrange, teorema del índice 2, uniones de intersección y multiplicación de subgrupos (normales), etc.).

En el mejor de los casos, me las arreglaré para probar la afirmación aún No entiendo muy bien por qué la afirmación es cierta porque la prueba es tan larga e implica muchos casos y suposiciones por contradicción que no puedo ver el bosque por los árboles.

Muchas veces hay más de una forma de demostrar la afirmación que no son tan similares.

Para un excelente ejemplo a lo que me refiero, mira ici .

Como siento que la mayor parte del tiempo estoy haciendo malabares con las variables, me gustaría saber qué debo hacer para entender ¿qué está pasando realmente?

Otra cosa diferente que podría aliviar mi mente es un lista exhaustiva de los teoremas que pueden utilizarse para resolver este tipo de problemas . Así sabré al menos cuáles son las posibles técnicas que pueden funcionar para estos problemas.

AÑADIDO: Aunque son bienvenidas las pruebas claras para los problemas específicos que he publicado, no son la razón por la que hice esta pregunta. Resolví estos problemas y otros también, pero mis pruebas eran largas y carecían de una idea identificable . Lo que busco es un principio general que pudiera guiarme en la construcción de pruebas para estos problemas.

Answer 1

Me parece que, para los problemas elementales de teoría de grupos, uno de los mejores lugares para empezar es preguntarse si (cómo) las acciones de los grupos podrían ser utilizadas para expresar esto. Entonces tienes algunos teoremas muy potentes (aunque todavía elementales) que puedes utilizar.

Para tus ejemplos, te remito a la respuesta de User-33433.

Para otro ejemplo que se encontró en un problema de tarea en la clase de álgebra abstracta que acabo de terminar:

Demostrar que cualquier grupo (incluido el infinito) que contiene un subgrupo propio de índice finito también contiene un subgrupo normal propio de índice finito.

Una forma de demostrarlo es pasar por todos los movimientos de demostrar que la intersección de subconjuntos de índice finito es, de nuevo, de índice finito, extendiendo esto por inducción, viendo $N=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}$ demostrando que esta normal y es en realidad una intersección finita por el Teorema del Estabilizador Orbital cuando $G$ actúa sobre los cosets de $H$ por conjugación, y finalmente utilizando el resultado sobre intersecciones finitas de conjuntos de índice finito que habrías demostrado.

La forma más fácil, y más potente, de mostrar este resultado (e incluso más, como veremos) es la siguiente, que surge de considerar la acción de $G$ en los cosets de $H$ por la conjugación como la característica importante, en lugar de sólo un medio para mostrar que el conjunto anterior $N$ es una intersección finita.

Dejemos que $H\leq G$ sea de índice finito $n$ . Entonces, $G$ actúa sobre los cosets de $H$ por conjugación, y esto induce un mapa $\varphi:G\to\text{Sym}\left(G/H\right)\cong S_{n}$ . El núcleo de este mapa es normal, y $G/\ker\varphi$ es isomorfo a un subgrupo de $S_{n}$ Así que $|G:\ker\varphi|\leq n!$ según sea necesario.

Esto demuestra que, no sólo tenemos un subgrupo normal propio de índice finito, sino que tenemos uno de índice $\leq n!$ . Así pues, las acciones de grupo son muy potentes y permiten ir directamente al núcleo de muchos problemas elementales de teoría de grupos, en lugar de tener que dar vueltas a un montón de otros resultados sólo para arañar la superficie.

Answer 2

Ambos hechos me parecen más sencillos de entender como un grupo que actúa sobre otro (por conjugación).

En el primer caso: Una vez que se sabe que un $p$ -no puede tener centro trivial, entonces la pregunta es: ¿de cuántas maneras puede un grupo de orden $p$ actuar sobre otro grupo de orden $p$ ? No muchos.

En el segundo, tenemos un grupo $K$ de orden $2$ (elija uno, cualquiera) que actúe sobre un grupo $H$ de orden $n$ (índice $2$ subgrupos deben ser normales), pero de una manera muy especial. La condición de que todo lo que está fuera de $H$ tener orden $2$ equivale a la afirmación de que $K$ actúa por inversión sobre $H$ : $x\mapsto x^{-1}$ . ¿Y cuándo es un homomorfismo? No muy a menudo.

(La condición de que $H$ tiene orden impar es sólo una consecuencia del hecho de que no puede contener elementos de orden $2$ .)

Hay algunas afirmaciones sencillas -por ejemplo, el teorema de Feit-Thompson- que requieren una teoría muy profunda, por lo que es casi imposible dar reglas generales sobre cómo ver esas cosas.

Answer 3

Muchas veces, cuando uno se encuentra atascado ante un problema, una buena técnica es detenerse y tratar de pensar en el objeto que se intenta estudiar, averiguar todo lo posible sobre ese objeto. Eso es básicamente lanzar todas las municiones que tienes con la esperanza de encontrar la solución.

Sobre el problema de comprender la razón por la que un hecho es verdadero La cuestión es que muchas veces para entender realmente la razón profunda de un hecho hay que utilizar conceptos que no son los básicos.

Por ejemplo, para demostrar que todo grupo de orden $p^2$ es abeliano se puede utilizar el hecho de que hay un elemento de orden $p$ en el centro. Por supuesto, primero hay que conocer este hecho y para demostrarlo hay que utilizar la fórmula de la clase, que no es uno de los primeros hechos que se aprenden sobre los grupos. Lo que quiero decir es que normalmente para entender la razón profunda de los hechos hay que conocer mucha teoría.

Espero que esto ayude.

Answer 4

He aquí una prueba del primer problema, que es ciertamente exagerado. Usamos la teoría de la representación. Sabemos que el tamaño de G es la suma de los cuadrados de los grados de sus representaciones irreducibles. Además, si $\rho$ es una representación irreducible de $G$ entonces $deg(\rho)$ divide el orden del grupo, que es $p^2$ . En primer lugar, sabemos que el grupo tiene la representación trivial, que es de grado uno. Si tuviera una representación irreducible de grado $p$ o mayor, que automáticamente, la suma de los cuadrados de los grados de las representaciones irreducibles superaría el tamaño del grupo, lo cual es una contridicción. Por lo tanto, se deduce que todas las representaciones irreducibles de $G$ son de dimensión 1. Por lo tanto, G es un grupo abeliano

Answer 5

Solución a $2$ :

Para demostrar que $n$ es impar nota que si $n$ es par entonces existe Sylow $2$ subgrupo $S$ de G, es fácil ver que existe la mitad de los elementos en $S$ de orden $2$ y la otra mitad es $S\cap H$ es un subgrupo de S, pero ahora $|S|=2^k, k\geq 2$ Así que usa la inducción.

Para demostrar que $G$ es de uso abeliano: $\forall x\in G\setminus H$ , $\forall a_1, a_2\in H$ , $xa_2a_1\in G\setminus H$ Así que $(xa_2a_1)^2=e$ Así que $xa_2a_1=a_1^{-1}xa_2$ , $(a_1^{-1}x)^2=e$ Así que $a_1^{-1}x=xa_1$ y $xa_2a_1=xa_1a_2$ . hecho