Probabilidad de la variable continua

Question

Me cuesta entender esta cuestión y cómo resolverla:

La búsqueda semanal de gasolina en algún lugar, en decenas de miles de litros es una variable aleatoria $X$ avec $E[X^2]=\frac{25}{6}$ y función de la densidad de probabilidad de:

$ \begin{cases} x-1 & 1\leq x \leq 2 \\ 3-x & 2\leq x \leq 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $

Si el local se rellena al principio de cada semana, ¿cuál es la cantidad mínima de gasolina que debe tener el local para que no falte gasolina al menos durante el 92% de las semanas?

Esto es tan confuso... No sé por dónde empezar Mi idea era aplicar el teorema del límite central a $100$ semanas considerando el valor medio de la distribución. Pero no creo que mi interpretación sea correcta... ¿Puede alguien ayudarme a entender mejor el problema? La respuesta debería ser $2.6$

Answer 1

Quieres encontrar $a$ tal que

$$\Pr(X<a) = 0.92. $$

Para $a\in(2,3)$ tenemos que

\begin{align}\Pr(X<a)=&\;\int_1^2 (x-1) dx +\int_2^a (3-x) dx \\[2ex] =&\; \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_1^2+\left[3x-\frac{x^2}{2}\right]_2^a\\[2ex] =&\;-0.5a^2+3a-3.5. \end{align}

Resolver el polinomio $$-0.5a^2+3a-3.5=0.92$$ rinde $a=2. 6$ o $a=3.4$ . Desde $a\in(2,3)$ debe ser que $a=2. 6$ .