¿Cómo demostrar la identidad compleja?

Question

He demostrado que $z^6+z^3+1 = (z^2-2z\cos(\frac{2}{9})+1)(z^2-2z\cos(\frac{4}{9})+1)(z^2-2z\cos(\frac{8}{9})+1)$

Utilizando esto, cómo demostrar que $$2\cos(3 \theta)+1=8\left(\cos \theta-\cos\left(\frac{2}{9}\right)\right)\left(\cos \theta-\cos\left(\frac{4}{9}\right)\right)\left(\cos\theta-\cos\left(\frac{8}{9}\right)\right)$$

Sé que implica alguna sustitución de trigonometría pero no estoy seguro de cómo. Se agradece la ayuda, gracias.

Answer 1

Dividir por $z^3$ : $$z^3+z^{-3}+1=(z+z^{-1}-2\cos(2\pi/9))(z+z^{-1}-2\cos(4\pi/9))(z+z^{-1}-2\cos(8\pi/9))$$ Poner en $z=\exp(i\phi)$ , señalando que $z+z^{-1}=2\cos\phi$ et $z^3+z^{-3}=2\cos3\phi$ : $$2\cos3\phi+1=(2\cos\phi-2\cos(2\pi/9))(2\cos\phi-2\cos(4\pi/9))(2\cos\phi-2\cos(8\pi/9)).$$