¿La prueba de que no hay ninguna paradoja de Banach-Tarski en $\Bbb R^2$ usando finitamente aditiva invariante fijó funciones?

Question

¿Me pregunto si alguien está familiarizado con el tema anterior? He encontrado una prueba de que es posible definir una función invariante finitamente aditiva en $\mathbb{R}^2$ en el círculo en libro de Lax "Análisis funcional". Sigue la prueba diciendo que esto demuestra que no es ninguna paradoja de banach-tarski en el plano pero no veo por qué. ¿Es obvio? ¿Si no es así alguien me puede decir donde puedo encontrar una prueba de este utilizando la existencia de tales funciones? Saludos

Answer 1

Lo Lax muestra es que hay una finitely aditivo, rotación invariable función del conjunto de $m \colon P(S^1) \to [0,1]$ sobre el círculo que $m(S^1) = 1$:

Esto implica en particular que es imposible descomponer $S^1$, paradójicamente, en un discontinuo de la unión de un número finito de piezas de $A_1,\dots,A_n$ de tal manera que $S^1$ puede ser escrito como la desunión de la unión de girar versiones de $A_1,\dots,A_k$$A_{k+1},\dots,A_n$, es decir, $r_1 A_1 \cup \cdots \cup r_k A_k = S^1$ $r_{k+1} A_{k+1} \cup \cdots \cup r_{n} A_{k+1} = S^1$ donde $r_1,\dots,r_n$ son algunas rotaciones.

De hecho, tendríamos $$ 1 = m(S^1) = m(A_1 \cup \cdots \copa A_n) = m(A_1) + \dots +m(A_n) $$ así como $$ \begin{align*} 1 & = m(S^1) = m(r_1 A_1 \cup \dots \cup r_k A_k) = m(A_1) + \dots + m(A_k) \cr 1 & = m(S^1) = m(r_{k+1} A_{k+1} \cup \dots \cup r_{n}A_n) = m(A_{k+1}) + \dots + m(A_{n}) \end{align*} $$ por aditividad finita y la invariancia de $m$ bajo rotaciones. En particular, $$1 = m(A_1) + \dots +m(A_n) = [m(A_1) + \dots + m(A_k)] + [m(A_{k+1}) + \dots + m(A_{n})] = 2$$ lo cual es absurdo.

Si usted quiere mostrar que no es de Banach-Tarski de la paradoja en el avión, que se necesita un finitely aditivo establecer la función de $P(\mathbb{R}^2) \to [0,1]$ invariantes bajo isometrías y argumentan que el anterior. De Banach mostraron que este tipo de conjunto de la función no existe (y la prueba es un poco más difícil debido a que el grupo afín de isometrías de $\mathbb{R}^2$ no es conmutativa; la palabra clave aquí es de conveniencia). Lax no establecer ese hecho, pero tampoco pretender refutar de Banach-Tarski en el avión, él sólo habla sobre el círculo en $\mathbb{R}^2$, y se menciona que Hausdorff desmentido la existencia de un finitely aditivo rotación invariable función de conjunto en la $2$-esfera:

Tenga en cuenta que hay un poco de confusión acerca de las dimensiones: Lax habla sobre la unidad de la esfera en el espacio tridimensional y llama esa cosa que tanto las tres dimensiones de la esfera y de la $2$-esfera.

Todo esto y mucho más es muy readably explicó Stan Vagón del libro de La Banach-Tarski Paradoja.