Álgebra abstracta: Homomorfismo de anillo inyectivo

Question

Referencia: Homomorfismo de anillos $\phi:f\to S$ es inyectiva

Refiriéndome a esto tengo una duda que necesitaba aclarar. A continuación mi respuesta y consulta. Sabemos que $\phi:f\to S$ sea un homomorfismo de anillo, donde $f$ es un campo y $R$ es un anillo ( $S$ puede ser un anillo). Para todos los $x \in f$ . El campo $f$ tiene una unidad de $1$ . Supongamos que $1 \in \ker \phi$ . Entonces $\phi(1)=0$ . Para cualquier $x\in f$ . Utilizamos el hecho de que $1$ es la identidad para la multiplicación en $f$ y el hecho de que $\phi$ se supone que es un homomorfismo para obtener

$$\phi(x) = \phi(x1)= \phi(x)\phi(1)=\phi(x)0=0$$

Por lo tanto, $\phi$ se convierte en $0$ . Si $1\not\in\ker \phi$ . Sabemos que si $\phi(x)=0$ para $x\neq 0$ entonces

$$\phi(1) = \phi(xx^{-1})= \phi(x)\phi(x^{-1})= 0\phi(x^{-1})=0$$

contradiciendo nuestra suposición de que $1\not\in\ker\phi$ . Así que $x$ debe ser $0$ . Por lo tanto, $\ker\phi=0$

He leído esto en stackexchange. Refiriéndose a mi enlace anterior y también a mi respuesta. ¿Cómo voy a probar si hay un ligero cambio en la pregunta que $S$ es un anillo conmutativo con $1$ y $\phi(1) = 1$

Entonces, ¿cómo demostrar que $\phi$ es inyectiva.

Answer 1

La mejor manera de entender por qué los homomorfismos de anillos a partir de campos son inyectivos es considerar el núcleo como un ideal. Los campos sólo tienen dos ideales, el ideal cero y el campo entero. Por tanto, todo homomorfismo de anillos a partir de un campo es o bien cero o bien inyectivo. En tu caso estás asumiendo que preserva la identidad multiplicativa por lo que no puede ser cero (asumiendo $1 \neq 0$ en el codominio).