¿Cómo demostrar que el mínimo de dos variables aleatorias exponenciales es otra variable aleatoria exponencial?

Question

¿Cómo puedo demostrar que el mínimo de dos variables aleatorias exponenciales es otra variable aleatoria exponencial, es decir, Z = min(X,Y)

Answer 1

Tenga en cuenta que debe asumir que $X$ y $Y$ son independientes, de lo contrario el resultado se ve fácilmente que es falso.

Hay una constante $\lambda$ tal que $P(X \geq t)=e^{-\lambda t}$ por cada $t>0$ .

Hay una constante $\mu$ tal que $P(Y \geq t)=e^{-\mu t}$ por cada $t>0$ .

Entonces, para cada $t>0$ tenemos

$$ P(Z \geq t)=P(X\geq t,Y\geq t)=P(X\geq t)P(Y\geq t)=e^{-(\lambda+\mu)t} $$

Así que $Z$ es una variable aleatoria exponencial con parámetro $\lambda+\mu$ .

Answer 2

En este caso, podría ser más intuitivo trabajar con el CDF.

$$F_Z(z) = P(Z < z) = P(\min(X,Y) < z)$$

¿Cuál es la probabilidad de que el mínimo de $X$ y $Y$ está por debajo de $z$ ? Esto ocurrirá si al menos uno de $X$ y $Y$ está por debajo de $z$ . La forma más fácil de tratar las preguntas de probabilidad que incluyen la frase al menos uno es encontrar la probabilidad complementaria y restarla a uno.

$$P(\text{at least one of $ X $ and $ Y $ $ z $}) = 1 - P(\text{each of $ X $ and $ Y $ > z})$$

Por la independencia de $X$ y $Y$ esto se convierte en $1 - P(X > z)P(Y > z)$ .

Encontramos $P(X > z) = 1 - F_X(z) = 1 - (1 - e^{-\lambda_X z}) = e^{-\lambda_X z}$ y de manera similar $P(Y > z) = e^{-\lambda_Y z}$ .

Por lo tanto, $F_Z(z) = 1 - e^{-\lambda_X z}e^{-\lambda_Y z} = 1 - e^{-(\lambda_X + \lambda_Y) z}$ que es la FCD de una variable exponencial con parámetro $\lambda_X + \lambda_Y$ .

Esto se generaliza fácilmente al caso con más de dos variables exponenciales independientes.