¿Cómo pensar en la operación de pullback de los haces de líneas?

Question

Recordemos que dar un mapa $f : (X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ de espacios anillados y una gavilla $\mathcal{F}$ en $Y$ podemos formar el pullback $f^\ast \mathcal{F} := f^{-1}\mathcal{F}\otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X$ .

Ahora el pullback de las láminas aparece en los capítulos 2.5 y 2.7 de Hartshorne. En particular, se utiliza para definir una correspodencia entre haces de líneas $\mathcal{L}$ en un esquema $(X \to \operatorname{Spec} A)$ y mapas al espacio proyectivo $\Bbb{P}^n_A$ . Más explícitamente, para cualquier morfismo $\varphi : X\to \Bbb{P}^n_A$ tenemos $\varphi^\ast \mathcal{O}(1)$ siendo un haz de líneas generado por los polinomios lineales $x_0,\ldots,x_n$ . A la inversa, dado $n+1$ secciones globales $s_0,\ldots,s_n$ de un haz de líneas $\mathcal{L}$ en $X$ tenemos un morfismo único $\varphi : X \to \Bbb{P}^n_A$ tal que $\varphi^\ast(x_i) = s_i$ .

Problema 1: El primer problema que tengo con $\varphi^\ast$ es decir que tengo el $x_i$ como en el caso anterior. Qué son las "secciones inducidas canónicas" $s_i \in \varphi^\ast\mathcal{O}(1)$ ? Todo lo que puedo decir ahora es que cada $x_i$ da un mapa de $\mathcal{O}_{\Bbb{P}^n_A} \to \mathcal{O}(1)$ pero ¿cómo nos da esto nuestra $s_i$ ? ¿Existe una descripción más concreta de lo que son realmente?

Problema 3: ¿Podemos ver explícitamente "en coordenadas" lo que el mapa $\varphi : X\to \Bbb{P}^n_A$ determinado por estas secciones es?

Problema 2: Mi segundo problema con la definición de este $\varphi^\ast$ se hace con sus secciones globales. A partir de la definición que di al principio de la retirada, ¡parece que esa definición no es de mucha ayuda en situaciones prácticas! Digamos que quiero calcular las secciones globales de $\varphi^\ast \mathcal{O}(1)$ donde $\varphi$ es la inmersión cerrada de la cónica $ V(xy - z^2)$ en $\Bbb{P}^2$ . ¿Cómo puedo hacerlo? ¿Qué pasa con el cálculo de las secciones globales del bulto de bullback, por ejemplo $\varphi: \Bbb{P}^n\setminus V(x_0,x_1,x_2) \to \Bbb{P}^2$ ?

Por último, ¿hay alguna manera de pensar en esta operación de retroceso que pueda mejorar significativamente mi percepción de la misma? Permítanme dar un ejemplo de lo que quiero decir con esto. Cuando aprendí por primera vez sobre el producto tensorial de las gavillas, tenía mucho miedo porque no sabía cómo se comportaba la gavilla (por ejemplo, ¿qué son las secciones globales?). Sin embargo si tensorizamos dos laminas cuasi-coherentes entonces en un afín sé exactamente lo que es el producto tensorial: ¡se comporta igual que un módulo!

Answer 1

El pullback de las láminas invertibles corresponde al pull-back de los haces de líneas en sentido geométrico.

En la topología habitual, un haz de líneas (complejas) es una familia de $\mathbb C$ -espacios vectoriales que varían sobre un espacio topológico $X$ . Más concretamente, es un espacio topológico $V$ , dotado de un mapa continuo $V \to X$ , una sección cero $X \to V$ , una acción de multiplicación escalar $\mathbb C \times V \to V$ compatible con las proyecciones a $X$ , un mapa de adición $V \times_X V \to V$ , de nuevo compatible con las proyecciones a $X$ que satisfacen algunos axiomas evidentes, que más o menos equivalen a exigir que esta estructura dote a cada fibra $V_x$ de $V$ sobre un punto $x$ de $X$ con la estructura de una dimensión $\mathbb C$ -espacio vectorial, de tal manera que $V$ es localmente trivial.

Ahora bien, si $\varphi: Y \to X$ es un mapa continuo, podemos formar el producto fibra $\varphi^*V := V\times_X Y,$ y esto es un haz de líneas sobre $Y$ .

Si se piensa en cómo se define el producto de fibra, se ve que la fibra de $\varphi^*V$ sobre un punto $y \in Y$ se identifica canónicamente con la fibra de $V$ en $\varphi(y)$ . Así que si pensamos en $V$ como la familia $V_x$ de líneas parametrizadas por los puntos $x \in X$ entonces $\varphi^*V$ es la familia de líneas $V_{\phi(y)}$ parametrizado por $y \in Y$ .

Podemos formar la gavilla de secciones $\mathcal L$ de $V$ es una gavilla localmente libre de rango uno sobre la gavilla de continuos $\mathbb C$ -funciones valoradas en $X$ . La gavilla de secciones de $\varphi^*V$ es entonces $\varphi^*\mathcal L$ .

Hay un ejercicio en alguna parte de Hartshorne que describe el análogo de la teoría de haces vectoriales en el entorno algebro-geométrico; todo todo es más o menos lo mismo. Ahora voy a trabajar en el entorno algebrogeométrico.

---

No es tan fácil relacionar las secciones de $V$ a los de $\varphi^*V$ ; depende mucho del espacio $Y$ y el morfismo $\varphi$ . Por ejemplo, si $Y$ es sólo un punto $x \in X$ entonces $\varphi^*V$ es sólo la línea $V_x$ y su espacio de secciones es unidimensional (independientemente de lo que $V$ es). Pero puede ser que $V$ no tiene secciones que sean distintas de cero en $x$ .

Más generalmente, un haz no trivial en $X$ podría retroceder a algo trivial en $Y$ .

Así que hay que analizar esta cuestión caso por caso. La cohomología es una de las herramientas básicas disponibles aquí, pero supongo que todavía no estás en el punto de usar la cohomología.

Por ejemplo, si $Y = \mathbb P^1$ y $\varphi: Y \to \mathbb P^2$ incrustaciones $Y$ como una cónica plana, entonces esta imagen es una curva de grado dos, por lo que $\mathcal O(1)$ se retira a una gavilla de grado dos en $Y$ es decir, a $\mathcal O(2)$ . Así, su espacio de secciones globales es tridimensional. Así que en este caso $\varphi^*$ induce un isomorfismo en espacios de secciones globales.

Por ejemplo, si $Y = \mathbb P^1$ pero $\varphi: Y \to \mathbb P^2$ lo incrusta como una línea, y luego $\varphi^*\mathcal O(1)$ es sólo $\mathcal O(1)$ en $\mathbb P^1$ (una recta es una curva de grado uno), por lo que el mapa sobre las secciones es suryente, con un núcleo unidimensional (que es precisamente la forma lineal que recorta la imagen de $\varphi$ ).

---

Como indica Martin Brandenburg en una respuesta, las secciones $s_i$ dar una incrustación proyectiva de la siguiente manera concreta: localmente podemos trivializar $V$ y así considerar el $s_i$ como simples funciones; obtenemos así un morfismo $x \mapsto [s_0(x): \cdots : s_n(x)].$ Nótese que si cambiamos la trivialización entonces la interpretación de la $s_i$ como funciones cambia por una función de cero en ninguna parte (la misma función para todas las $s_i$ ), lo que significa que el punto en $\mathbb P^n$ no cambia . Por lo tanto, el mapa está bien definido independientemente de la trivialización.

---

Por último, puede ser útil saber que en topología, los haces de líneas complejas se clasifican (hasta el isomorfismo) por clases de homotopía de mapas a $\mathbb C P^{\infty}$ . Una vez más, el mapa se da tirando hacia atrás $\mathcal O(1)$ .

La situación en la geometría algebraica es análoga a ésta, pero más rígida: el isomorfismo topológico es mucho menos rígido que el algebraico (de ahí que sólo la clase de homotopía de $\varphi$ importa), y todos los haces de líneas tienen muchas secciones. En la geometría algebraica, sólo los haces suficientemente positivos (es decir, suficientemente amplios) surgen de los mapas al espacio proyectivo.