Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial y $\lbrace v_1,\ldots , v_n\rbrace$ sea una base de $V$ . Mediante el proceso de Gram-Schmidt obtenemos una matriz $G$ que toma cualquier $v_i$ a un vector $e_i$ de tal manera que $\lbrace e_1,\ldots , e_n\rbrace$ es una base ortonormal de $V$ . ¿Es cierto que $\det G>0$ ?
Respuesta
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El determinante de una matriz es invariante bajo la conjugación, así que, por ejemplo, examinemos qué $G$ parece en relación con la base original. En el $k$ iteración del proceso Gram-Schmidt, el algoritmo obtiene el vector $v_k$ más una combinación lineal de los vectores base ortonormales generados hasta ese momento, todos ellos divididos por un número positivo (el paso de normalización). Sin embargo, cada uno de estos vectores base ya generados es en sí mismo de esta forma, por lo que el resultado del paso $k$ es una combinación lineal de $v_1$ a través de $v_k$ con $v_k$ El coeficiente de la empresa es positivo.
Recordando que las columnas de una matriz de transformación son las imágenes de los vectores base, esto significa que con respecto a la base original, $G$ es triangular superior con entradas positivas a lo largo de su diagonal principal, por lo tanto $\det G\gt0$ .
Una forma de describir este resultado es que el proceso Gram-Schmidt preserva la orientación.
