Pozo de potencial anular infinito. Problemas con la resolución de la ecuación de Bessel para obtener los estados propios y la energía

Question

Tengo un pozo de potencial anular infinito (esquema en la imagen).

Ecuación de Schrodinger en el anular (para $R_1 <r<R_2$ es $V=0$ ) con coordenadas polares es \begin{equation} - \frac{ \hbar }{2m} \left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \psi }{\partial \phi^2} \right] = E \psi \end{equation} Asumo la solución separable $\psi = R(r) F(\phi)$ . Así que después de la modificación obtengo la ecuación $$ - \frac{ \hbar }{2m} \left[ r \frac{R'}{R} + r^2\frac{R''}{R} \right] -r^2 E = \frac{ \hbar }{2m} \frac{F''}{F} = - \epsilon_{\phi} $$ Desde el lado con $F$ Tengo $F(\phi) = e^{i l \phi}$ , $\epsilon_{\phi} = \frac{\hbar^2 l^2}{2m}$ y $l$ es un número entero (de la periodicidad)

Desde el lado con $R$ Consigo después de la modificación la ecuación de Bessel: $$ r^2 R'' + r R' +\left( k^2 r^2 - l^2 \right) = 0, $$ donde $k = \sqrt(2mE / \hbar^2)$ .

La solución general debe consistir en funciones de Bessel de primer tipo $J_l(kr)$ y el segundo tipo $Y_l(kr)$ : $$ R(r) = A_l J_l(kr) + B_l Y_l(kr) $$ Tengo dos condiciones de contorno $R(R_1) =0$ y $R(R_2) =0$ Sin embargo, necesito encontrar 3 constantes: $A_l$ , $B_l$ y $k$ para obtener las funciones propias $\psi$ y los valores propios $E$ .

¿He olvidado alguna otra condición? No sé cómo continuar.

¿Cómo continuar con la solución analítica?

Answer 1

El problema no es totalmente resoluble en forma exacta, ya que requiere la solución de una ecuación trascendental para obtener $k$ y con ello el valor propio de la energía. Esto no debería ser sorprendente $-$ es exactamente la misma situación que para una partícula en un anillo (es decir, sin el recorte interno).

Es correcto en todos los pasos que conducen a su función propia radial en la forma $$ R(r) = A_l J_l(kr) + B_l Y_l(kr), $$ y ahora la tarea es, efectivamente, resolver los coeficientes $A_l$ y $B_l$ y para el número de onda $k$ . De los dos primeros, uno es fácil, y lo puedes conseguir poniendo $R(r)$ a cero en una de las dos fronteras, por ejemplo, $$ R(R_1) = A_l J_l(kR_1) + B_l Y_l(kR_1)=0, $$ o en otras palabras $$ B_l = -\frac{ J_l(kR_1)}{Y_l(kR_1)}A_l, $$ así que eso es $B_l$ abajo y $A_l$ para ir. Cambiando ligeramente la notación al definir $C_l=A_l/Y_l(kR_1)$ se obtiene la función propia completa en la forma $$ R(r) = C_l \bigg[Y_l(kR_1) J_l(kr) - J_l(kR_1) Y_l(kr)\bigg], $$ y su segunda condición de contorno en la forma $$ R(R_2) = C_l \bigg[Y_l(kR_1) J_l(kR_2) - J_l(kR_1) Y_l(kR_2)\bigg] = 0, $$ y aquí es donde las cosas se complican.

La razón por la que las cosas se complican en este punto es que ahora estás resolviendo el número de onda $k$ (que a su vez es un sustituto del valor propio de la energía $E=\hbar^2 k^2/2m$ ) en la ecuación trascendental $$ Y_l(kR_1) J_l(kR_2) - J_l(kR_1) Y_l(kR_2) = 0, $$ y esto simplemente no da cabida a ninguna solución de forma exacta (del mismo modo que, por ejemplo, el pozo cuadrado finito se reducirá a una ecuación trascendental de la forma $\tan(ka) = \sqrt{C+k^2b^2}$ sin soluciones exactas). Esto es análogo a la situación para el caso de que no haya un recorte interno, en el que sólo se tendrá $$ J_l(kR)=0, $$ donde se sabe que el producto $kR$ tiene que ser un cero de Bessel, pero hasta ahí llegan los planteamientos analíticos.

En el caso de que no se trate de un recorte interno, por supuesto, estás de suerte: los ceros de Bessel son objetos extremadamente comunes y bien estudiados, y se incluyen en la mayoría de las tabulaciones de funciones especiales (por ejemplo, Abramowitz y Stegun, y similares) y son un componente estándar de la mayoría del software matemático.

Para tu caso, con un recorte interior no nulo, tienes menos suerte, porque la situación es menos común y, por tanto, está menos extendida tanto en las tabulaciones como en el software matemático. La palabra clave que hay que buscar es la producto cruzado ceros de Bessel El conocimiento de las tecnologías de la información y la comunicación: sabemos mucho sobre ellas, pero ese conocimiento no siempre se traslada a las aplicaciones.

Cuando trabajo con esos objetos, tiendo a hacerlo en Mathematica, que sí tiene un BesselJZero función incorporada en el lenguaje principal, pero para la que el resto de el paquete BesselZeros incluyendo los ceros de los productos cruzados, no llegó a entrar en el sistema principal. El paquete es todavía está disponible y funciona (¡aunque con algunos problemas de fiabilidad en los ceros del producto cruzado!) si es así como quieres rodar.

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Y, finalmente, esa tercera constante: para la constante de normalización $C_l$ que se fija exigiendo que $$ \int_{R_1}^{R_2} |R(r)|^2 r\,\mathrm dr = 1 $$ o algún requisito similar $-$ Sí, no hay ninguna posibilidad de que eso sea analíticamente integrable, al igual que el caso de la no-intervención. Simplemente lo integras numéricamente cuando se trata de ello.