La conjetura catalana afirma que $x^m-y^n=1$ sólo tiene la solución $x=3, m=2, y=2, n=3$ . Esta conjetura fue demostrada por Preda Mihailescu en 2004, pero quiero saber sobre la ecuación mencionada anteriormente. ¿Existe una solución para esto?
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Eric
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La conjetura de Pillai es que para cada $k$ sólo hay un número finito de soluciones.
La conjetura ABC implica la conjetura de Pillai como sigue. En primer lugar, expongo una forma de la conjetura ABC. Dados tres enteros positivos relativamente primos $A+B=C$ la calidad del triple $(A,B,C)$ es $\log(C)/\log(R)$ , donde $R$ es el producto de los primos que dividen $ABC$ . Por ejemplo, la calidad de $(5,27,32)$ es $\log(32)/\log(30)$ . Una forma fuerte de la conjetura ABC es que sólo hay un número finito de triples (de enteros positivos relativamente primos) con calidad mayor que $1.001$ .
Ahora una solución para $x^m-y^n=k$ con $\gcd(x,y)=1$ tiene $(A,B,C)=(k,y^n,x^m)$ . Observe que $R\leq k y x$ . Por lo tanto, la calidad del triple es al menos $$\frac{m\log(x)}{\log(k)+\log(x)+\log(y)}\approx \frac{m\log(x)}{\log(k)+(\frac mn +1)\log(x)}.$$ Como $x\to\infty$ Esto da un enfoque de calidad $\frac{mn}{m+n}$ y para $m n>4$ esto es $\geq 1.2$ que sólo puede ocurrir finitamente muchas veces por ABC. También, $\frac{mn}{m+n}=1$ si $m=n=2$ Por lo tanto, ese caso tiene que ser tratado por separado. Si $x$ y $y$ no son relativamente primos, como comentaba KConrad más adelante, establece $d=\gcd(x^m,y^n)$ y aplicar el ABC al triple $(k/d, y^n/d,x^m/d)$ .
tonyk
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Existe la conjetura de que para todo número natural positivo k sólo hay un número finito de soluciones de la ecuación anterior. Hasta donde yo sé, esto está abierto para k >1. De hecho, Erdős conjeturó que la diferencia entre una potencia completa x y la siguiente potencia completa es al menos x c para alguna constante positiva c .
Gerry Myerson
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Eso dependerá de $k$ . Asumo que quieres que todas las variables sean enteras positivas con $m>1$ y $n>1$ . Se ha demostrado que para cualquier $k$ sólo hay un número finito de soluciones.
Edición: a la vista de las demás respuestas, parece que mi "puede que se haya demostrado" era demasiado optimista.
