¿Cuántas bolitas caben en un recipiente?

Question

Hoy, fui a la tienda de comestibles (llamada H-E-B) y recibí una oferta irresistible. Compra 2 cajas de cereales Nesquik y consigue un kit escolar (lápices, gomas de borrar, crayones, etc.) con el tema de la película Kung Fu Panda 2 y además tiene la oportunidad de conseguir un iPad 2 si gana este pequeño juego:

Teniendo $n$ jugadores y una caja rectangular transparente con medidas $w$ para la anchura, $l$ para la longitud y $h$ para la altura averiguar cuántas bolas (las bolas de los cónyuges son esféricas) con radio $r$ están en la caja si la caja está llena de bolas. Cada jugador tiene que adivinar, y gana el jugador que da la respuesta más correcta. La corrección se da de esta manera $|PlayerAnswer - RealAnswer|$ Ganas automáticamente si tu corrección es $0$ .

Entonces mi pregunta es: ¿Alguien tiene un buen enfoque para resolver este problema?

Nota especial: En el juego real no se conocen las medidas.

Actualización : Vídeo relacionado

Answer 1

Wikipedia da la densidad aproximada de esferas empaquetadas al azar como $64\%,$ en contraste con el embalaje más apretado de $\frac{\pi}{18}\approx 74\%.$ Buena suerte.

Answer 2

Según ( mi interpretación de la interpretación de Wikipedia) Song, C.; Wang, P. & Makse,H.A. (29 de mayo de 2008). "Un diagrama de fases para la materia atascada". Nature 453 (7195): 629-632, un empaquetamiento aleatorio de esferas no puede superar una densidad del 63,4% (http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere\_packing). Así que supongamos que la densidad es, digamos, del 63%, y calculemos el número de esferas partiendo de esa suposición.