Demuestre que en el espacio S tenemos $x_n \rightarrow x$ si y sólo si $e_{j}^{\left( n\right) }\rightarrow e_j$ para todos $j=1,2, \dots, $ donde $x_n =\left(e_{j}^{\left( n\right) } \right) $ y $x=\left(e_j \right) $
Nota: S es el conjunto de todas las secuencias (acotadas o no) de números complejos y la métrica $d$ se define por $$d\left(y,z \right)= \sum_{j=1}^{\infty}{\frac{1}{2^j}\frac{|y_j-z_j|}{1+|y_j-z_j|}} $$
Mi enfoque:
Supongamos que $x_n \rightarrow x$ en S. Para cada $j>0$ dado cualquier $\epsilon>0$ hay $N$ tal que para todo $n>N$ que tenemos:
$$ \frac{1}{2^j} \frac{|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}{1+|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|} \leq \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{2^k} \frac{|e_k-e_{k}^{\left( n\right)}|}{1+|e_k-e_{k}^{\left( n\right)}|}}=d\left(x,x_n \right)< \frac{1}{2^j} \frac{\epsilon}{1+\epsilon}$$
Entonces \begin{eqnarray*} \frac{|e_j-e_{j}^{\left( n\right)|}}{1+|e_j-e_{j}^{\left( n\right)|}} &\leq& \frac{\epsilon}{1+\epsilon}\\ |e_j-e_{j}^{\left( n\right)|\left( 1+\epsilon\right)} &\leq& \epsilon \left( 1+|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|\right) \\ |e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|&\leq& \epsilon \end{eqnarray*} Esto demuestra que $e_{j}^{\left( n\right) }\rightarrow e_j$ como $n \rightarrow \infty$ .
Por el contrario, supongamos que $e_{j}^{\left( n\right) }\rightarrow e_j$ para todos $j$ . Dado cualquier $\epsilon > 0$ hay $N_j$ tal que para todo $n>N_j$ que tenemos: $$\frac{1}{2^j} \frac{|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}{1+|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}< |e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|<\frac{1}{2^j}\epsilon$$
Si hay $N$ tal que para todo j $N>N_j$ entonces para $n>N$ que tenemos: $$\frac{1}{2^j} \frac{|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}{1+|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}< \frac{1}{2^j}\epsilon$$ por cada $j$ y $$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{2^j} \frac{|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}{1+|e_j-e_{j}^{\left( n\right)}|}} <\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{2^k}\epsilon}=\epsilon$$
Pero no sé elegir $N$ ¿Podría alguien ayudarme con esto?
